Question

すだち

最初の｢f’(x)の符号がx＞0の範囲において、正から負に変化し、かつ、負から正に変化する」の記述の意味がよく分かりません。そこが分かればでその後は出来そうなので詳しい解説お願いします。

5 【選択問題(数学ⅡI 微分法)】 (配点 50点)
3次関数
x=3x+2
f(x)=x2+kx2kx+k2
3x²-13x+6
( 8-1252+12-25
20-1452
がある。 ただし, kは実数とする.
(1) f'(-1)=0 とする。
$
(i) k®¯****.[ f(-1) = 31-13 + 2k(-1)-k² 3-2kk-0
16-432 +4√√5
(ii) 0≦x≦1におけるf(x) の最大値と最小値を求めよ.
(2) f(x) は x>0の範囲に極大値と極小値をもっとする.
化するとき, S(k) の最大値を求めよ。 14
64
ペー6x+6x+36.
520-1953-61 6-45²) + 6 (2-53) +38
2-1-4
0.6.
3k-30
bl
(i) kのとり得る値の範囲を求めよ。 b<- 6, o㏄h
(ii) f(x)の極大値と極小値の和をS(k) とする. kの値が (2) (i) で求めた範囲を変

(2) (i) 思考力・判断力
道しるべ
x>0 の範囲において, f'(x) の符号がどのように
変化すればよいかを考える.
(08) 58
f(x) が x>0 の範囲に極大値と極小値をもつための条
件は,
「f'(x) の符号が x>0 の範囲において,
正から負に変化し,かつ,負から正に変化する」
すなわち、
「y=f'(x) のグラフが x>0の範囲において,
x軸と異なる2点で交わる」
ことである.
ここで,
(₁ & SI = N)
* FS GR
f'(x)=3x2+2kx-k
2
(x) + (x) \ = {(x) + (27) = 3(x + ²)² – ½ k ² – k
k
A) (x)=[(W)
であるから, (*) を満たすための条件は,
[(-1/2) < 0,
①より、
② より
k
3
f'(0) > 0.
->0,
¹ k² − k < 0.
3
k² +3k>0.
k(k+3) >0.
k< -3,0<k.
k<0.
(*)<-
60
xsś
0-$ (1) $
0=A-AS
(-x)+
27
(*) を満たすとき, y=f'(x)
のグラフは次の図のようにな
る.
このとき, y=f'(x)のグラ
フとx軸の交点のx座標を α
R
B (0<a<B) とおくと, f(x)
の増減は次のようになる.
(0)
....
0
+
y=f'(x)
a
x
f'(x)
f(x)
極大 極小
(これより, (*) を満たすとき,
f(x) は x>0 の範囲に極大値
と極小値をもつ。
k
3
である.
B
(2) (i) の(*) 以降の部分的別解
が後にあります。
011=4.07HON
+
Jc y=f'(x)
(1)
上の図より (*) を満たすため
の条件は,
=(x)(頂点のy座標) < 0,
> 0,
(頂点のx座標)
[ƒ'(0) > 0

③より,
①' かつ ②' かつ ③ より 求めるkの値の範囲は,
k< -3.
(ii) 思考力・判断力
道しるべ
= (a³ +B³)+k(a² +B²)-k(a+B) +2k².
ここで, α, βは
“f'(x)=0 すなわち 3x+2kx-k=0
(2) (i) の (*) を満たすとき, f(x) が極大値、極小値を
もつxの値は,y=f'(x)のグラフとx軸の交点のX
座標,すなわち,f'(x)=0 の2解であることに着目
する.
の2解であるから, 解と係数の関係より,
k
U
XD
(製品の消oar+B=-2k, ab = -153.
+β=
3
673 anf-1=0
これより、過
(②2) (i) の(*) を満たすとき, y=f'(x)とx軸の交点の
座標をα, β(0<a<β) とおくと, f(x)はx=αで極大
値, x=β で極小値をもつから, 極大値と極小値の和 S(k)
2,
S(k)=f(a) + f(B)
=
- k>0.
k<0.
8.500 > F
10
4
27
-k
+B'=(a+B)-30B (a+B)
---+ |1=2 R² + ² k.
9
これらと⑤のα+β=2を④に代入して,
これより,
--+-- (0 S'(k)=
...
3
- (- 2²k) ² - 3 ( - )( - ²2k)
3
3
k
S'(k) +
0
S(k) 7 128
よって, S(k) の最大値
) = 4 / k² + 16 k
3
2
S(A) = ( − ² − ²) + ( 3*² + 3^) — ^ ( − 2^² ) + 2²
28/7 k³ 3
8
=k(k+12). ©É© Á
(2) (i) の結果より k< -3 であるから, この範囲におけ
るS(k) の増減は次のようになる.
-12
128.
・③'
***
･･･・(答)
***
(-3)
SI
13CS4 61
=(a+ka²-ka+k²)+(B'+kB2-kB+k² ) <◆ f(x)= x³ +kx²-kx+k².
0<
(20)
･･･(答)
S'(0) =3.02+2k-0-k・
D
2k
k
AS
よう= = (-2/2 ) ² - 2 ( - 1/²-) *-=804²5-=8+Ð
3
3
E
-30
(2) (ii) の前半の参考が後にあ
ります。
x
cf(x)
f(x)
8 3
2
„EUSI = — 27k² — 3 R²,
a²+ B² = (a+B)²-2aßsta a
(x)
「y=f'(x) のグラフがx>0
の範囲において, x軸と異なる
2点で交わる｣...(*
08+
A=(A-DE-
=-k.
2, 3
AL
(0)
WH
85
･･･ ④ ····· f(a)+f(B) は, αとβにつ
...
いての対称式であるから, α+β
と αβ で表すために 3 +β3,
2+B2, a+ B をまとめた.
a
-12
D'
2次方程式の解と係数の関係
2次方程式 ax²+bx+c = 0
の2解をα,βとすると,
[a+
a+B=_b
<³ | aß= C.
8
S(k) = 2/7 k³ +³/k².
-3
joins!
B
www
+ 0
> 極大 極小
-k
D
0 +
a
k
y=S'(k)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

数Ⅱの教科書に書いてある、
極値の定義そのままかと思います

fがaで極大となるということは
aを境にfが増加から減少に変わるということ
つまりaを境にf'が正から負に変わるということ

すだち

絶対に負になるんですか？

和

質問が簡潔すぎてわかりにくいのですが、
極大となる、の定義は絶対に「f'が正から負に変わること」か？
という質問ですか？
数Ⅱではそうです

すだち

そうなんですね、ありがとうございす