Question

てぃあ

解説の4行目の実数解の見つけ方がわかりません。どうやってやりますか？

48 (最大公約数)
類 appre
5m+19と4m+18 の最大公約数が7となるような100以下の自然数は何個あるか。

47 (1次不定方程式の応用)
ポイント
ジュースの個数についての1次不定方程式を解く
条件から得られる1次不定方程式 11x+7y= 137 の整数解を求める。
整数解を1組見つけて, すべての整数解を整数を用いて表し
←
X,
0以上になるようなんの範囲を求める
不等式を用いて, 値の範囲を絞り込む解法もある。
110円の大きいジュースをx個, 70円の小さいジュースをy
個買ったとすると
すなわち
110x+70y=1370
11x+7y=137....... ①
x = 1, y=18は①の整数解であり
①-② から
すなわち
11・1+7・18=137
....
②
11(x-1)+7(y-18)=0
11(x-1)=-7(y-18) ...... ③
11と7は互いに素であるから, x-1は7の倍数である。
よって, 整数を用いて, x-1=7k と表される。
これを③に代入すると
よって
ゆえに
y-18=-11k
11.7k=-7(y-18)
x=7k+1,y=-11k+18 (kは整数)
x,yは0以上の整数であるから
7k +1≧0 かつ -11k +18≧0
18
よって
k≤
11
k=0.1
これを満たす整数k は
k=0 のとき x=1,y=18
k=1のとき x=8, y=7
したがって
1個 18個または 大8個, 小7個

1次不定方程式 数a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ここでは整数解なので、当てはめていきます

x=0のとき、自然数yがあるか調べます
11×0 + 7y = 137 ∴y=19.5…で、ダメ

x=1のとき、自然数yがあるか調べます
11×1 + 7y = 137 ∴7y=126 ∴y=18で、⚪︎

もしここでも見つからなければx=2,3,…と試します
また、y=0,1,2,…と試してもよいです

てぃあ

ありがとうございます！
探し方は分かったのですが
「ここでは整数解なので当てはめる」の意味がよくわからないです。当てはめない時はどのような時ですか？

和

まず、ここでの話は「1組でも解を見つければよい」
という場面である、ということを断っておきますね

「解が整数」なら、1,2,3,…とか0とか-1,-2,…
を当てはめていけば、
多分いずれは正しい解にたどりつくことが期待されます

一方、「解が実数」などのときは、
（一般には）当てはめていくのは無理があるでしょう

なぜなら実数は整数と整数の間に無数に詰まっており、
何を当てはめるか見過ごすかもしれないからです

たとえばx=1.2だけが解の場合、
x=1,2,3,…と入れていっても、
1.2は1と2の間にあるので、もう通り過ぎています
もう見つかりません

※「実数でも、代入していけば解が見つかる」
ことが約束されている場面も
数Ⅱの因数定理などで出てきますが、
それはまた例外です

てぃあ

わかりました！ありがとうございます