Question

れん‪

90の(1)の解答のはてなの箇所が分からないのでどなたか教えていただきたいです

A
90 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ
(1) 1-4+2 5+3·6+...+ n(n+3) = 113
-n(n+1)(n+5)
(2)* 1·1+2·3+3·5+ ··· + n(2n − 1) = n(n+1)(4n − 1)

214 数学 B
すなわち
an+1-5a = -2-1
よって, 3 から④を引いて
30m = 2.5 +2"1
ゆえに an =
90 (1) この等式を①とする。
〔1〕n=1のとき
2"-1
1
3
左辺= 1.4 = 4,
•1.
右辺=1/13.1.
= 4
よって, ① はn=1のとき成り
立つ｡
〔2〕 ① がn=kのとき成り立つ,
すなわち
(2.5"-¹+2"-¹)
14 +2.5 +3 ･6 + ･･･
} (4+1 // = =
でくくった
3
13
1
3
と仮定する。
n=k+1 のとき, ① の左辺を②
を用いて変形すると
(1+1)(1+5)
2
14 +2.5 +3.6 + ･･･
k(k+1)(k+5)
+k(k+3)
k(k+1)(k+5)
2
+k(k+3)
+(k+1){(k+1)+3}
?+(k+1)(+4)
(k+1){k(k+5)+ 3(k + 4)}
-(k+1) (k² +8k+12)
(k+1)(k+2)(k+6)
1/12(k+1){(k+1)+1}
{(k+1)+5}
となり, ① は n = k+1 のときに
も成り立つ。
〔1〕, 〔2〕 より, すべての自然数nにつ
いて ① が成り立つ。
(2) この等式を①とする。
〔1〕n=1のとき
左辺=1・1= 1,
右辺 1/12 11 . 1. (1+1)(4.1-1)
6
= 1
よって, ① は n=1のとき成り
立つ｡
〔2〕 ① がn=kのとき成り立つ,
すなわち
1･1+2・3 +3.5 + ･･･
-
=1/01k(k+1)(4k-1)
6
と仮定する。
n=k+1 のとき, ① の左辺を②
を用いて変形すると
1・1+2・3 +3.5 + ･･･
+k(2k-1)
+k(2k-1)
+ (k + 1){2(k+1)-1}
//k(k+1)(4k-1)
(k+1)
+ (k+1)(2k+1)
2
{k(4k-1)+6(2k+1)}
10 (+1)(4k²+11k+6)
6
(k+1)(k+2)(4k+3)
1
- (k+1){(k+1) + 1}
{4(k+1) -1}
となり, ① は n=k+1 のときに
も成り立つ。
〔1〕, 〔2〕 より すべての自然数nにつ
いて ① が成り立つ。
(2) (0) 25 m
と表され
9m
8の
きん
① が成
92 この

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みこと

1つ目
②の式のkをk+1に置き換えてみてください
2つ目
展開するだけ
(k+1){(k+1)+3}=(k+1)(k+4)
3つ目
同じく展開するだけ
(k+1){2(k+1)-1}=(k+1)(2k+1)