Question

あ

(2)の問題では(ⅰ)や(ⅱ)の範囲にイコールをつけることで
a=√3/3の場合分けは省けますか？

B..
445 a>0とする。 関数 f(x)=x-3ax (0≦x≦1) について,次の問いに答
|例題 103
えよ。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。

05 (-
126クリアー 数学ⅡI
f(x)=-2x3+12x2 とすると
f'(x) = -6x2+24x= -6x(x-4)
f'(x)=0 とすると
x=0,4
②の範囲において, f(x) の増減表は次のように
なる｡
x
f'(x)
x
20
f'(x)
f(x)
よって, f(x) はx=4で最大値 64 をとる。
x=4のとき, ① から y=4=
したがって, xy はx=4,y=4のとき, 最大値
64 をとる。
445 f'(x)=3x2-3a²=3(x2-α²)
=3(x+a)(x-α)
0
4
+ 0
7 64 V
...
f'(x) =0 とすると
(1) [1] 0<a<1のとき
0≦x≦1において, f(x) の増減表は次のよう
になる。
...
***
1≦a のとき
(2) [1] 0<a<1のとき
x=±α
a
6
+
20
0-2a³7 1-3a²
よって, f(x) はx=αで最小値-243 をとる。
[2] 1≤αのとき
02/1において、であるから
f'(x) ≦0
よって, f(x) は 0≦x≦1で減少する。
ゆえに, f(x) はx=1で最小値1-3α ² をとる。
[1],[2] から
0<a<1のとき
1
x=αで最小値-243
x=1で最小値13a²
(1) の増減表から, f(x) の最大値は
0 または 1-34²
√3
3
(i) 01-34²のとき
f(x) は x=1で最大値 1-342 をとる。
また, 01-342 かつ 0<a<1を満たすa
の値の範囲は 0<a<
(ii) 0=1-34² のとき
f(x) は x=0, 1で最大値をとる。
また, 0=1-34² かつ0<a<1を満たすa
√3
3
(iii) 01-34²のとき
f(x) は x=0で最大値0をとる。
また, 0>1-34² かつ 0<a<1を満たすa
の値の範囲は
√3
3
の値は a=
[2] 1≦aのとき
(1) の [2] から, f(x) は 0≦x≦1で減少する。
よって, f(x)はx=0で最大値0をとる。
以上から
√3
0<a< のとき
a=
√√3
週のときX
<a<1
x=1で最大値1-34²
al, isa すなわちのとき
x=0で最大値 0
x
0
f'(x) 0
f(x)
x=0, 1で最大値 0
446 f'(x) =3x2-6x=3x(x-2)
f'(x)=0 とすると x=0,2
x≧0 において, f(x) の増減表は次のようになる。
よって, x≧0 における y=f(x)のグラフは次の
図のようになる。
-
2
0
+
2 -2 1
(1) [1] 0<a<2のとき
0≦x≦a における
y=f(x)のグラフは
右の図の実線部分で
ある。
よって, x=aで
最小値 α3-34² +2
をとる。
12
-2
2
x
a³-3a²+2
[2] 2≤a
0≤x≤a
y=f(x)
右の図の
ある。
よって
最小
をとる
[1], [2]
0<a<
2≤a 0
(2) f(x)
よって
ゆえに
[1]C
on
y=
右
あ
[2

Answer 1

冒昧

微妙なところです。
a=√3/3のでは最大値を与えるxが2つあるので、分けておいた方が無難ですが、設問でxの値を聞かれていないので減点されない気もします。
まぁ、分けるくせをつけておく方が無難です

あ

なぜ最小値の方は等号にイコールをつけて2つの場合分けだけでいいんですか？

冒昧

最小値となるようなxが2つ存在するような場合がないからです

冒昧

もう少し正確に言うと、
最大値・最小値の存在条件として、最大値・最小値をとるようなxの値も調べる方が良いという考え方があります。
このような考え方に従った時、同じ最大値でも
x=1のみで最大値をとる時 と x=0,1で最大値をとる時は別物と見なします。

最小値に関してはこのような事が起こらないので気にしなくて良いということです。

面倒くさければ等号を入れてもこの問題では大丈夫です。
今後、最大値とその時のxの値を求めよ。 みたいな問題に出会うことがあると思います。その時にまたこの話にぶつかるはずです。それまで保留にするのもありですね。