Question

ぴひょ

整数の問題です。青マーカー部分の分からないところ3点を解説して欲しいです。

(2)g≧3とa-b≧2はどのように求められたのですか？
(3)p≧5はどのように求められたのですか？
また、p≧5よりm≧2もどのような思考プロセスで導いたのですか？

お願いします。

88 (10nが正の偶数のとき, "-1は3の倍数であることを示せ。
? X (2) nを自然数とする。 2" + 1 と 2 -1 は互いに素であることを示せ。
(3),gを異なる素数とする。
-
を満たすか、4の組をすべて求
めよ。
[15 九州大〕

88 (1) は正の偶数であるからは自然数)と表される。
このとき
2"-1=22−14−1=(3+1)"-I
ここで,二項定理から
(3+1)*−1=mC3'+mC3"~3+· + Cm~1.3 + Cm-1
3m Co306-1 + C3-2+...... + Cm-1)
11
C3-1 + C3-2+..+m Cm-1 は自然数であるから 2-1 は 3
の倍数である。
[別料14~1=(4-1)(4"-' +4"-2+ (41) 変形して証明
してもよい。
key 二項定理を利用する。
3法をすると
4" - 1 = 1"-1=0

別2 2つの整数 α, bについて, abが3の倍数であるとき。
a=b (mod3) とかく。
は正の偶数であるから2mm は自然数) と表される。
このとき
2"-1=2'"-1=4"-1=1"-1=0 (mod 3)
したがって, が正の偶数のとき 2-1は3の倍数である。
(2) 2+12" 1 は互いに素でないと仮定する。
2" +1>2"-1 であり, 2" +1, 2-1はともに奇数であるから,
2 +1と21の最大公約数をgとすると,次のように表される。
2" +1 = ga ①, 2-1=gb....... ②
gaba 6 で、 互いに素な奇数)
① ② より ga-b)=2
923,a-b≧2であるから、 これを満たす g, a,bは存在しない。
したがって, 2" +1と21は互いに素である。
別解 2 数A,B の最大公約数を (A,B) で表す。
2"+1=(2^-1).1+2 であるから, ユークリッドの互除法より
(2"+1, 2"-1)=(2"-1, 2)
2-1 は奇数であるから, 2-1と2の最大公約数は1である。
したがって, 2"+1と2"1は互いに素である。
(3) 20-1-1=pg?..... ③
[1] p=2 のとき
③より
2-1=2g2
すなわち
2q² =1
これを満たす素数 gは存在しない。
[2]
のとき
は奇数であるからp=2m+1mは自然数) と表される
このとき, ③ より
22m-1=pq2・・･ ⓘ
(1) より, 22m-1 は3の倍数であり, D, gは異なる素数であるから
p=3 または q=3
(i) =3のとき
③より 2²-1=3q²
すなわち
q² = 1
これを満たす素数」は存在しない。はは園じゃない
(ii) q=3のとき3の倍数
④ より 22m-1=9p
よって (22" +1)(2-1)=9p
ここで、25より≧2であるから 2-1>1
さらに,(2) より 2 +1と2"-1は互いに素であるから
2" +1=9 かつ 21p ・・･･･ ⑤
または " +1 = p かつ 2" - 19
⑤のとき m=3, p=7
これは, p=2m+1 を満たす。
⑥ を満たすm, p存在しない。
[1], [2] から 求めるか.gの組は p=7, q=3
key 背理法で示す。
key 3 以上の素数は奇襲
p = 2m +1 (m は自然数)
(1), (2)を利用する。

整数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

2^n+1と2^n-1は互いに素ではないと仮定しているので、最大公約数のgはg≠1であり、2^n+1と2^n-1はいずれも奇数なので、それぞれの約数は全て奇数ではないといけない。よって偶数の約数を持たないので
g≠2となり、g≧3
a,bはa>bを満たす奇数なので、互いにことなる奇数となるので、差であるa-bが0または1になることはない。(1になるとa,bのどちらかが偶数となる)

(ii)ではq=3と仮定している。また、ここではp≧3でもある。p,qは互いに異なる素数なので、p≠qです。
よってp≠3かつp≠2である。よって次に小さい素数は5なのでp≧5となります。

p=2m+1であり、p≧5なので2m+1≧5よって、これを解くとm≧2となります。

ぴひょ

なるほど！！ありがとうございます。奇数が鍵なんですね。