Question

ぴひょ

この問題の(3)について、解法が理解できません。考え方のプロセスを知りたいです。
また、xの範囲も納得できません。cosxは0～πでずっと減っていきませんか？

203 関数f(x)=8x-6x-1 について,次の問いに答えよ。
(1) f(x)=0 を満たす実数xの個数を求めよ。
5 -m とするとき, f(α) の値を求めよ。
X (2) a=cos- 93
☆国度は分解できないから、まず代入。→3倍角の公式の匂い!
Q3) 不等式
-
5
cosox を証明せよ。
9 6
[16 岡山大

203 (1) f'(x)=24x2-6=6(4x²-1)=6(2x+1×2x-1)
f'(x)=0 とすると
x=±1/2
f(x) の増減表は次のようになる。
1
2
f'(x) + 0
+
f(x)
1
-37
したがって, y=f(x)のグラフは右の図の
ようになる。
X
***
***
1
2
0
***
2
f(x)=0 を満たす実数xの個数は, y=f(x)
のグラフとx軸の共有点の個数に等しいから 3個
1
02
T
%

(2) (a)=8cos³-6cos-1
ここで 4c 3cos0 = cos30 であるから
5
5
f(a)=2(4cos ar-3coso*)-1=2cos(3.6*)-1
5
=2cos-1=2.
3
=0
では?
R
(d) 関数 cosx は xx の範囲で減少関数である。
xa
L
したがって、 より coff con of com/2/2
<cos
すなわち
- <a<0
f(a)=0,-121<a<0より,y=f(x)のグラフとx軸の共有点のう
$.
ち, -12 <x<0 の範囲にある点のx座標がaである。
17
== √(-3) = 1235>0, s(-1)=-2/7 <0
ここで
--/1/11/11/12 <0であるから, (1)のグラフより 1/3<a</1/2
5
したがって
-/ <cos</1/
6

三角関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

餅

順を追って説明します。
f(a)=0より、
f(x)のグラフとx軸の交点3つのうち、どれか1つを表しています。
「グラフを使うんやなあ、(2)の誘導やな」　と判断しましょう。

(5/9)π　が何者かわからないので、知っている角で、大体の範囲を絞ります。

　　(π/2)＜(5/9)π＜(2/3)π　…①

各辺をcosの値に変換します。
このとき、cosが減少関数となっていることに注意します。
質問者さんのおっしゃるとおり、　0≦x≦π　　で減少しますが、
①の範囲に含まれていないところは、カットしています。
ここは　「符号変化に注意!」　と教えてくれているわけです。
証明問題では、こういった細かな作業も明確に記述した方が良い、ということですかね（知らんけど）

　cos(2π/3)＜cos(5π/9)＜cos(π/2)　より、
　　-(1/2)＜a＜0　…②

②から x=a=cos(5π/9)　がどの点を表しているのかがわかります。

さて、ここでようやく　-(1/5)＜a＜-(1/6)　を考えていくわけです。
まず、　-(1/5)　も　-(1/6)　も　②の範囲に含まれていることを確認します。
f｛-(1/5)｝=17/125＞0
f｛-(1/6)｝=-(1/27)＜0

f(x)のグラフの増減から、命題は成り立ちます。

餅

グラフは適当に書いています

ぴひょ

なるほど！ありがとうございます。f(x)の解と結び付けられていませんでした。難しいけど頑張ります。