Question

Hi（受験生）

|x^2-x-2|の2つの放物線が
x=-1,2で交わるのは理解できるのですが
|x^2-x-2|-2xがx=-1,2で交わるのはなぜですか？

190
00000
重要 例題 122 絶対値のついた2次方程式の解の個数
kは定数とする。 方程式 |x-2|=2x+kの異なる実数解の個数を調べよ。
基本120
指針 絶対値記号をはずし、 場合ごとの実数解の個数を調べることもできるが,
方程式f(x)=g(x) の解y=f(x), y=g(x)のグラフの共有点のx座標
に注目し, グラフを利用して考えると進めやすい。
このとき, y=|x-x-2|と y=2x+hのグラフの共有点を考えてもよいが、方程式を
|x-x-2|-2x=h (hを分離した形) に変形し, y=x-x-2|-2xのグラフと
直線y=kの共有点の個数を調べると考えやすい。
なお, y=|x-x-2|-2xのグラフのかき方は、 前ページの例題121 と同様。
CHART 定数々の入った方程式∫(x)=hの形に直してから処理
解答
|x-x-2|=2x+k から
y=|x-x-2|-2x ...... ① とする。
x-x-2=(x+1)(x-2) であるから
xx-2≧0の解は
x-1, 2≦x
xx-2<0の解は -1<x<2
よって, ① は x≦-1, 2≦xのとき
y=(x-x-2)-2x=x²-3x-2
17
=(x-2)²-47
-1<x<2のとき
|x-x-2|-2x=k
y=-(x-x-2)-2x=-x-x+2
9
1/12
9
-4<k<2, <kのとき2個;
4
| \|=2, 11 のとき3個;
2<k<1のとき 4個
24
=-(x+2/+
17
ゆえに、 ①のグラフは右上の図の実線部分のようになる。
与えられた方程式の実数解の個数は、①のグラフと
直線y=kの共有点の個数に等しい。 これを調べて
ん<-4のとき0個; k = -4のとき1個;
www
|==||
2|のグラフは次
のようになる(p.188 参照)。
9
0
44
これと直線y=2x+ルの共有
点を調べるよりも下のよう
に、①のグラフと直線y=k
の共有点を調べる方がらくで
ある。
all
27
11

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

それぞれの放物線の全ての座標が－2xずつされるんだから上に凸をf(x)下に凸をg(x)とするとある点xにおけるy座標の差は(f(x)－2x)－(g(x)－2x)＝f(x)－g(x)となりますね。なので－2xした所である点xにおける放物線間の距離というのは変わりません。したがって交点とはその距離が0になるところであるため一致します。