Question

m

数1の命題と証明の問題です。
背理法を使わずに、命題の「逆」を使って解きました。
背理法を使う回答は理解できたのですが、どうして「逆」を使うと答えが違うのでしょうか。

一枚目　問題
二枚目　回答
三枚目　自分の回答

よろしくお願いします。

*310 (1) nを整数とするとき ²が5の倍数ならば, nは5の倍数
であることを証明せよ。
(2) √5 が無理数であることを証明せよ。
G

80g
サクシード数学 Ⅰ
√3=1
が有理数のとき 1/17は有理数であるから,この
等式√3 が無理数であることに矛盾する。
したがって 4√3は無理数である。
(2) √2+√6は無理数でないと仮定すると,
√2+√6は有理数である。
その有理数をrとすると
√2+√6=r
両辺を2乗すると
よって
√√√3 =
2+4√3 +6=2
両辺を2乗すると
よって
r≠ 0 であるから
2-8
4
が有理数のとき
は有理数であるから,
r2-8
4
この等式√3が無理数であることに矛盾する。
したがって,√2+√6 は無理数である。
(3)√3+√5は無理数でないと仮定すると
√3+√5は有理数である。
その有理数をrとすると√3+√5=rから
-√3=√5
²-2√3+3=5
2√3r=r²-2
√3-
2-2
2r
r2-2
2r
は有理数であるから,
が有理数のとき
この等式√3 が無理数であることに矛盾する。
したがって, √3+√5 は無理数である。
309 xyz かつy2<xz かつ x=yであると
仮定する｡
x2yz に x=y を代入して
y2<xz に x=y を代入して
①と②は矛盾する｡
y² > yz
y² <yz
…………….. (1)
よって、xyz かつy2< xz ならばxキリ
である。
n2=(5k+1)=25k2+10k+1
= 5(5k² +2k)+1
(2)
310 (1) 対偶 「nが5の倍数でないならば、
は5の倍数でない。」を証明する。
が5の倍数でないとき, nは5k+1,5k +2,
5k+3,5k+4 (kは整数)のいずれかで表される
[1] n=5k+1のとき
[2] n=5k+2のとき
n²=(5k+2)2=25k²+20k+4
=5(5k2+4k) +4
[3] n=5k+3のとき
n2=(5k+3)^=25k²+30k+9
=5(5k²+6k+1)+4
[4] n=5k+4のとき
n²=(5k+4)2=25k²+40k +16
=5(5k2+8k + 3) + 1
[1]~[4] のいずれの場合も, n2は5の倍数でない
よって, 対偶は真である。
したがって,n2が5の倍数ならば、nは5の倍
である｡
(2) √5 が無理でない。
めると
仮定すると,1以外に正の公約数をもたない2つ
の自然数 α, bを用いて
√5 = 1/
と表される。
このとき
両辺を2乗すると
a2=562
よって、²は5の倍数である。
ゆえに, (1) よりも5の倍数であるから、 ある
自然数c を用いて
a = √5b
1414
....... ①
a=5c ....... 2
② を①に代入すると 25c2=562
よって
62=5c2
ゆえに,62は5の倍数であるから (1)よりも
5の倍数である。
よって、とは正の公約数5をもつ。
このことは, aとbが1以外に正の公約数をも
たないことに矛盾する。
本
したがって、√5は無理数である。
よって
(2)等式を整理すると
と表される。
311 (1) (4+p)+(5-9)√2=0
4+p, 5-gは有理数, V2は無理数であるから
4+p=0, 5-g=0
p=-4,g=5
( 3g+1)+(p2g)√5=0
3g+1, p2gは有理数, √5は無理数であるか
ら
3g+1=0, p2g=0
これを解いて
(3) 等式を整理すると
2
1
p== ²3², 9=="
(2p+3q-8)+(3p-2q+1)√2=0
31
(1
(2
(3
(4
(5

れが5の倍数ならばんは5の倍数
↓逆
nは5の倍ならば²は5の倍数
逆が真なので、命題は偽サ

命題と証明 数1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「もとの命題の真偽」と「逆の真偽」には
関係がないからです

逆が真でももとの命題が真か偽かは不明です
逆が偽でももとの命題が真か偽かは不明です

m

回答ありがとうございます。

逆(裏)と元の命題(対偶)の真偽が同じになることがあるということでしょうか？

何度も質問させていただいてすみません🙇

和

真偽が一致することもあるししないこともあります
特に規則性はありません

よって、逆や裏の真偽を調べても、
もとの命題の真偽の判定に役立ちません

m

勘違いしていました。理解できました。
丁寧に解説していただきありがとうございました☺️