Question

ほの

(3)の答えをなぜ赤線のところから出せるのかが特にわかりません。
解説お願いします！

基礎問
150 第6章 微分法と
95 接線の本数
曲線 C:y=x-x 上の点をT(t, ピ-t) とする.
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, ものみたす関係式
を求めよ.ただし,α> 0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなa, b の値を求めよ.
精講
(2)
3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し
ます.だから, (1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです.
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
∴.y=(3t²-1)x-2t3
(2) (1) の接線は A(α, b) を通るので
6=(3t²−1)a-2t3
‥. 2t3-3at2+a+b=0 (*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t-3at2 +α + b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち,
( 極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
185
y=x³-x|
A(a, b),
(t,t³-t)

: { a+0
ba³-a, a>0 t샳5, a+b=0
(3) (2) のとき (*) より, t2 (2t-3a) = 0
2本の接線の傾きはf'(0), (2) だから、直交する条件より
3a
3a
f' (0) f'
(22)=1
-1
.. (−1)(27/a²-1)=-1
Ja≠0
197 lg(0)g(a)=0
: a²=
18
27
a>0より,a=
2√6
9
9
(a+b)(b−a³+a)=0
6=2√6
9
151
5a≠0 は極値をもつ
ための条件

微分 接線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Math

(2)で直交するときa+b=0となることがわかったのでb=-aにして※に代入してスタートしたというわけです。

ほの

たぶん理解できました！ありがとうございます！