Question

コメントありがとうございます

この図からだとAEの長さはどう求められますか？
解答見てもよく分かりません。そもそも図の設定が間違えているのでしょうか？

B
必解 92 <三角柱のすべての面に内接する球>
76
AB = 3, AD = 4 である直方体ABCD-EFGHにおいて, 球Sが三角柱 ABC-EFGの
すべての面に内接するとき、 次の問いに答えよ。
(1) 辺AE の長さを求めよ。
(2) 球Sの中心と,頂点F との間の距離を求めよ。
(3) 三角柱の3つの面ABFE, BCGF, EFG と, 球Sのいずれにも接する球の半径を
求めよ。
[09 法政大法,文]
応用問題

3
8
Te
E
C

計 92 〈三角柱のすべての面に内接する球〉
(1) 三角柱と球Sを, Sの中心を通り, 面ABC に平行な平面で切ったときの切り口を
考える
球Sの半径をrとし, 切り口の面積を2通りに表す
(2) 球Sの中心を0, 辺BF の中点をMとし, MF, OM の長さを求める
∠OMF=90°であることを利用し, OF の長さを求める
(3) 面ABFE, BCGF, EFG と球Sに接する球の中心を0', 半径をr' とし OF と
OF の長さをr, r' を用いて表す。
(1) 三角柱と球 Sを,Sの中心を通り,面ABC
に平行な平面で切ったとき, 切り口は右の図
のようになる。
球Sの半径をrとすると, この直角三角形の
面積 Tは
T=
T = 1/2·32 + 1/2 · 4r + 1 1/2 · 5 r = 0
3r
5r=6r
一方 T=1･3･4=6
したがって, 6r= 6 から
r=1
辺AE の長さは球Sの直径と等しいから
(2) 球Sの中心を0, 辺BF の中点を
Mとすると
MF = 1,
OM=√12+12=√2
∠OMF = 90° であるから, 球の中心
と頂点Fの距離は
OF = √OM2+MF 2
=√(√2)+12=√3
(3)面ABFE, BCGF, EFG と球Sに接
する球の中心を0', 半径を'とする。
直方体を3点 B, F, 0 を通る平面で切っ
たとき,切り口は右の図のようになる。
球Sのr=1 に対して OF =√3であ
るから
O'F=√3r'
よって OF = rtr't√3r'
=1+(1+√3)r'
OF = √3 より
1+(1+√3)r'=√3
15
-1)2
AE=2r=2
E
D
B
M
F
C
B
(1) の図を利用するとわか
りやすい。
◆△OMF において, 三平方
の定理を適用する。
F
12V/= √5 10 F
O'F=Br'