Question

ぽロロロロ

この軌跡の問題の代入するという考え方がいまいち分からないです。

st、xyの関係式を作って代入するところまではわかるのですが、、、

どうしてどれでstの方程式をxyの方程式に作り替えられるのか分からないです

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/p.174 基本事項 ■ 2 重要 113 114
基本例題 110 三角形
2点A(6,0), B(3,3)と円x2+y^2=9上を動く点Qを3つの頂点とする三角形
の重心Pの軌跡を求めよ。
指針 動点Qが円周上を動くにつれて, 重心Pが動く。 このようなものを連動形 (Q
以外の文字で表す。
動してPが動く)ということにする。 連動形の問題では,次の手順で考えるとよい。
①1 軌跡上の動点P(x, y) に対し、 他の動点Qの座標は,x,
例えば, s, tを使い, Q(s,t) とする。
[②] Qに関する条件を s, tを用いて表す。
③3 2点PQの関係から,s,tをx,yで表す。
④ ② ③ の式からst を消去して,x,yの関係式を導く。
なお, 上で用いたs, tを本書ではつなぎの文字とよぶことにする。
CHART 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して、xの関係式を導く
P(x,y), Q(s,t) とする。
解答 点Qは円x2+y2 = 9上を動く
から
s2+12=9
点Pは△ABQ の重心である
から
x=
6+3+s
3
y=
......
0+3+t
3
(2)
s=3x-9, t=3y-3
よって, 求める軌跡は
(s, t)
Q₁
******
-3
3
②から
①に代入して
したがって
ゆえに, 点Pは円 ③上にある。
逆に, 円 ③上の任意の点は,条件を満たす。
練習 放物線 y=x2.
10 線 ① 上を動くとき、次の点Q
(3, 1)
A
0p(x,y)/3 6 X
-3
(3x-9)²+(3y-3)²=9
(x-3)^+(y-1)'=1
中心が点 (3,1), 半径が10円 (*)
B(3, 3)
注意 上の例題の直線AB:x+y-6=0と円x²+y²=9は共有点
をもたないから、△ABQ を常に作ることができる。 しかし、直
線AB と円が共有点をもつときは,その共有点をRとすると,
図形 ABR は三角形ではなくなるから, そのときの点Pを軌跡
から除外しなければならない。
(3)
点Qの条件。
R の軌跡を求めよ。
点Pの条件。
P Q の関係から,s,t
をx, yで表す。 なお,
Aは
UP
{3(x-3)}^+{3(y-1)}^=9
この両辺を9で割って
③ を導く。
(*) 円(x-3)+(y-1)'=1
でもよい。
直線AB Ay
6
3
13
・①とA(1,2), B(-1,-2), C (4,-1) がある。 点Pが放物
6
C

178
基本例 111 角の二等分線・線対称な直線の方程式
次の直線の方程式を求めよ。
STRE
(1) 2直線4x+3y-8= 0, 5y+3=0 のなす角の二等分線
(2) 直線l: xy+1=0に関して直線2x+y-2=0 と対称な直線
指針 いろいろな解法があるが、ここでは軌跡の考え方を用いて解いてみよう。
(1) 角の二等分線→
2直線から等距離にある点の軌跡
(2) 直線2x+y-2=0上を動く点Qに対し、
解答
直線lに関して対称な点Pの軌跡と考える。
なお、線対称な点については,次のことがポイント。
2点P, Q が直線l
PQLC
に関して対称
線分PQの中点がl 上
p.142 基本例題 88 参照。
(1) 求める二等分線上の点P(x,y) は, 2直線
4x+3y-8=0,5y+3=0 から等距離にある。
|4x+3y-8|__|0・x+5y+3
ゆえに
√4²+3²
よって
4x+3y-8=±(5y+3)(*)
したがって 求める二等分線の方程式は
4x+3y-8=5y+3 から
4x-2y-11=0
4x+3y-8=-5y-3から 4x+8y-5=0
(2) 直線 2x+y-2=0上の動点をQ(s,t) とし,直
線lに関して点Qと対称な点をP(x, y) とする。
直線PQ は lに垂直であるから 121-1
√0²+5²
よって
s+t=x+y
線分PQの中点は直線l上にあるから
x+s_y+t+1=0
2
2
******
よって
s-t=-x+y-2
①②から s=y-1, t=x+1
点Qは直線 2x+y-2=0上を動くから
2s+t-2=0
これに s=y-1, t=x+1 を代入して 求める
直線の方程式は
2(y-1)+(x+1)-2=0
すなわち x+2y-3=0
練習次の直線の方程式を求めよ。
L
8
3
13
5
#A
O
Q(s, t)
ゆえに
5y+3=0
(*) |A|=|B|のとき,両辺
を2乗して A2=B2
すなわち
ya
・基本 88 110
4x+3y-8=0
(A-B)(A+B)=0
A = ±B
2.
0
2
=3x-y+1=0 のなす角の二等分線
基本
放物線y=x
変化すると
指針
1
P(x,y)
\2x+y-20
の他
例え
解答