Question

ぽロロロロ

これ赤線部分って青チャートでは省略されてて、
どういう要領で書くものなんですかね

証
109 定点からの距離の比が一定な点の軌跡
2点A(-4, 0, B2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
p.174 基本事項 ■ 2
指針
例題
定点A(-4, 0), B(2,0 )
条件を満たす任意の点を P(x,y) とすると、条件は
このままでは扱いにくいから, a>0,6>0のとき,a=b⇔a=b² の関係を用いて
AP:BP=2:1
AP:BP=2:1⇔AP=2BP⇔AP'=4BP
として扱う。 これを x, の式で表すと, 軌跡が得られる。
軌跡である図形 F が求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確
認する。
CHART
条件を満たす点をP(x, y) とする
AP: BP=2:1
AP=2BP
AP2=4BP2
よって
すなわち
したがって
軌跡 軌跡上の動点 (x,y) の関係式を導く
(x+4)²+y²=4{(x−2)²+y²}
x2+y²-8x=0
整理して
ゆえに
すなわち
x2-8x+42+y2=42
(x-4)2+y2=42,
y4
2
B
2
P(x,y)
18 x
175
<AP > 0, BP > 0 である
から平方しても同値。
よって, 条件を満たす点は,円 ①上にある。
逆に、円①上の任意の点は,条件を満たす。
したがって、求める軌跡は
A
中心が点 (4,0), 半径が40円・
注意 「軌跡の方程式を求めよ」 なら, 答えは ① のままでよ
いが、 「軌跡を求めよ」 なので、 Aのように、答えに図
形の形を示す。
2
3章
<x,yの式で表す。
AP2={x-(-4)}+(y-0)²
BP2=(x-2)+(y-0) 2
1989軌跡と方程式
①の式を導くまでの式
変形は,同値変形。
円(x-4)2+y²=4を答
えとしてもよい。
アポロニウスの円
上の例題の軌跡の円は, 線分ABを2:1に内分する点(0, 0), 外分する点 (8, 0) を
の両端とする円である。
の距離の比が min(m>0,n>0, m≠n) である点の軌
である。こ

174
18 軌跡と方程式
与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を, その条件を満たす点の軌跡とい
1 軌跡
基本事項
う。 条件を満たす点Pの軌跡が図形Fであることを示すには, 次の2つのことを
明する。
1 条件を満たす任意の点Pは,図形F上にある
2 図形F上の任意の点Pは, その条件を満たす
[1] 動点の座標を(x,y) とし, 与えられた条件をx, yについての関係式で表す。
[2] 軌跡の方程式を導き, その方程式の表す図形を求める。
[3] その図形上の任意の点が条件を満たしていることを確認する。
注意 その図形上の点のうち,条件を満たさないものがあれば除く。
3 基本的な軌跡
①
2 軌跡を求める手順
条件
① 定直線l からの距離が一定値である点
② 2定点A, B から等距離にある点
③ 交わる2直線から等距離にある点
④ 定点0からの距離が一定値である点
⑤ 2定点A,B を見込む角が一定値αである点 AB を弦としてαの角を含む弓形の弧。
特に, α=90°のときは直径 ABの円
(ただし,ともにA,Bを除く)
軌跡
ℓとの距離がdでlと平行な2直線
線分ABの垂直二等分線
2組の対頂角の二等分線
中心 0, 半径rの円
O
■ 上の表で, 例えば①は, 「定直線ℓ からの距離が一定値dである点」 の軌跡は、「との
距離がdでlと平行な2直線」である,ということで了
A
☆B