Question

シャープペン　辺

(1)なぜ、いきなりbで割るのですか？
(2)波線で引いたところなぜ、有理数と分かるのですか？

問題 2-8
有理数α. bに対して, a + b√2=0 ならば ab() であるこ
とを証明せよ。 ただし,√2が無理数であることは証明なしに用いて
よい。
(2) (a +√2)(b+2√2)= 6 +4√ℓ を満たす有理数a,bを求めよ。
(鳥取大改)
方針
(1) 背理法を用いて, b = 0 を証明します。 b = 0 が証明できれば,
a+b√2=0 に代入することにより, α = 0 も導くことができます。
(2) 与えられた式の左辺を展開し,
O+ △√2=0 (○、△は有理数)
の形に変形し, (1) を利用します。
b
問題 2-8 の解答
(1) 6 = 0 を背理法で示す。 b0と仮定する。 6 = 0 が成り立たないと仮定する
このとき、a+b√2=0 の両辺を6で割ると, 0)より6で割ってよい
+ √2 = 0
α, b は有理数なので
a
: √2 = -9
も有理数 (p.24)
b
左辺は無理数,右辺は有理数であるから, これは矛盾。
a
b
なせんで
守りつくより
X14R
第2章 命題と論証 29

(2) (a +√2)(6 +2√2) = 6 +4√2
より、
ab + 4 + 2a√2 + by2 = 6 + 4√2
∴ (ab-2) + (2a + b -4)√2=0
ab-2.2a+b-4は有理数であるから, (1) より
ab-2=0,2a+b-4 = 0
p.24
これを解くと,
a=1,6=2
なぜ有理数
とわかるのか

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

duhn

（１）⋯ 矛盾を導き，背理法で示すため．
（２）⋯ 有理数同士の四則演算は有理数となるから．