404 演習問題の解答 ⑤2〜5
るので, (x,y)=(2,0) は適する.
(i)y=0 のとき, ② をみたすαの値
はa=b.エ
y
このとき①は6・
b. (x-2)+b(y-4)=0
∴.b{x(x-2)+y(y-4)}=0 ...... 3
であり、a²+62 ≠ 0 は 62
6²{( #)² +1} * 0
したがってb=0 ...... ④ である.
③,④を同時にみたすbが存在するよう
なx,yの条件は
x(x-2)+y(y-4)=0
∴. (x-1)2+(y-2)2=5 (y≠0) エプロ
(i), (ii) をまとめると
(x-1)2+(y−2)²=5
別解 つねに OMIAM であるから,
Mは 0, A を直径の両端とする円周上を
動く.
このとき、直線PQは点Aを通る直線の
すべてを動くから, 弦PQの中点である
Mも上の円周上すべてを動く.
この円の方程式は (標問41の研究 参
照)
UCATIS ad=
x(x-2)+y(y-4)=0
... (x-1)2+(y-2)2=5
(52-2) P(p, √√3 p²), Q(q, √√3q²) &
おくと,Rの座標 (x,y) は
r_p+q ... 1₂ y=-
2
√3
2
また,∠POQ=90°より
-(p²+q²)...@
(OPの傾き) × (OQの傾き)=-1
1619
‥. √3/√3g=-1
(0
:. pq=-
7344
.....(3)
①, ②,③を同時にみたす実数 b, g が存
在するためのx,yの条件を求める.
5
① ③ をみたす p, g は
1²-2xt-1/3 -=0
の2解であり、判別式をDとすると
1² = x ² + 1/3 > 0
(であるから,か, g はつねに実数である.
pg が ①, ③ をみたすという条件のもと
で②を変形して
√3
y= -{(p+q)²-2pq}
2
√((2x)²-2 (-1)}
1
∴. 放物線y=2√3x2+-
√3
2.x
2y
53 X=2+² Y = 2²²₁
y
4
X² + y²=²+ y²
.. x=
2X
y =
X2+Y2,
円弧① を表す式に代入して,
2X
2Y 2
(x² + y²)² + (x² + y²)² = 1, 04.20
X2+Y2
0≤
≤1, 0≤-
2X
X2+Y2
‥. X2+Y2=4,
0≤Y,
0≤X,
(X-1)2 + Y'≧1,
2Y
X2+Y2
0≤x≤2,
un
0≤ y ≤2
線分 ② を表す式に代入して,
2Y
2X
X²+ y²-
X2+Y2
z=1,0≦-
.. X2+(Y-1)²=1,
X 2+Y2=0‥‥..②'
線分③も同様に,
(X-1)2+Y2=1,
2Y
X²+ y² ≤1
of
≤1
O
YA (S-12)
2
......1'
(2)
1:10
=
1
1'
2 X
X2+(Y-1)^≧1,
X 2+Y2=0.③′
よって, 点Qのえがく図形は上図の①',
②'③' のようになる.
54 a=x+y
b = xy
x2+y2+2x+2y=1
①, ②,③を同時にみたす実数x,yが存
在するための a b の条件を求める.
x,yはt2-at+b=0 の実数解である
いましたね。是非見てみてください。
(字数制限(︎^_^;)