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下の問題も判別式を使って解けます.
因みに,x²の係数が1である2次方程式
x²+bx+c=0 の2解をα,βとし,この判別式をDとすると
|α-β|＝√D
という関係式が成り立ちます(証明略).
x²-(k-1)x+2k=0の判別式Dは
D=(k-1)²-8k＝k²-10k+1であることと,条件,及び
(α-β)²＝D より
k²-10k+1＝25
k²-10k-24=0
(k+2)(k-12)=0
k=-2,12
別に,解と係数の関係を使って解いてもいいです.
2数の解の差が5であることから2数は異なり,更にこの2数は実数であることが分かります.
何故なら,2次方程式の虚数解を,iを虚数単位,a,bを実数として
x=a±bi (b≠0)と表せ,
α＝a+bi
β＝a-bi とすると
α-β＝2bi∈(虚数)
となり,2数の差が実数であることに矛盾するからです.
以上よりD≧0は明らかで,
2数が異なることから
D>0
なるほど、元々この二次方程式は異なる解を2つ持つので、kを求める条件としては設定する必要がないということですね。
ありがとうございました。
回答ありがとうございます。判別式を使ってでも解けるのですね。
ちなみに、下の問題を解と係数の関係を使って解く際は、（判別式）＞0が必要ないのはなぜでしょうか。