Question

みかん

微積分の問題で(2)についてです。Y＝Ｘ^3－4X^2＋4Xの極大値(2/3，32/27)をY＝KXに代入して求めた傾き(K)よりも小さければ共有点を2個もつと考えたのですが間違っていました。どこで間違えてるのか教えてほしいです🙏

目標解答時間
8分
65
難易度 ★★
関連する基本問題
曲線C: y=x+ax2+bx (a, b は定数)がある。
(1)
I
うち正しいものは ア である。
a=0,6=0のとき、曲線Cの概形は[ I
a=0.6=1のとき 曲線Cの概形は [
Ⅳ に当てはまる G1~Ga の曲線Cの概形の組合せとして、姿の①
③の
I
G1 G2 G1 G2
II
G2 G1 G2 G
G₁
114
II
a=-2,b=0のとき、曲線Cの概形は III
a = 4,64のとき、 曲線Cの概形は[ N
G₂
Ⅱ
G3
G3 G4 GA
N
G A G A G3
G
GA
VA
Ga
y
O
○
32
27
O
x
(2)a=-4,b=4のときの曲線Cと直線y=kx (kは正の定数)が、x>0の範囲で,共有点
を2個もつようなんの値の範囲は0 <<
イ
である。
(配点 5)
(公式解法集 84

微分法・積分法
3次関数のグラフ
a=0,
b=0のとき y=x³
y=3x で x=00
a=0,
x=0のときは0となるから、Cの形はGである。
b=1のとき y=x+x
Cの概形はG2 である。
AB
y=3x2+1 で すべてのxについて>0となり、増加関数であるから
AC
a=-2.6=0のとき y=x-2x
y=3x²-4x=3x(x-1)
4
3=0より x=0.1/2
0
となりの増減表は次のようになる。
XC
+
0
-
y'
0
1430
+
32
y
27
よって、Cの概形はGである。
A
D
() a=-4,6=4のとき y=x-4x2+4x
y' =3x²-8x+4 = (x-2)(x-2)
y=0より
x=
2
3'
2 となり、yの増減表は次のようになる。
A
G, G2 とも増加関数であるが、
(ア)ではC上の原点における接線
この傾きが0となるから, G. G2
のうちGが正しいグラフとな
る。
B
曲線 y=f(x) 上の点(a.f (a))
における曲線の接線の傾きは
f'(a)
C
(ア)の場合と違って、x軸に平行
となる接線が引けないような増
加関数であるから, G. G2 の
うち G2 が正しいグラフとなる。
x
...
y'
3
y
+
23037
....
2
0
+
E
0
よって、Cの概形は G3 である。
(ア)~(エ)から、G1~G の曲線Cの概形の組合せは②となる。
|(2) a=-4,b=4 のとき
y=x4x2+4x 上の原点における接線の
方程式はx=0 のとき,y'=4であるから
F
y=4x
右の図より求めるkの値の範囲は
0<k<4
2
y
2
y=x-4x²+4x/
y=4x
y=kx
0
2
x
増減表からCは原点でx軸に
接している。
E
増減表から、Cは点 (20) x
に接している。
F
接線の方程式
曲線 y=f(x) 上の点 (a.f (a))
における曲線の接線の方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-a)
Point
2=0のとき=4(60)をまから
傾き
ここを代入して
(1) では、 導関数の符号を把握して3次関数のグラフの増減が正しく理解でき
|ているかが問われている。 (2)では,曲線 y=x4x²+4x は原点を通りx
と接することがわかっている。そのことを利用して直線 y=kxとの共有
点の考察をしていけばよい。
G
直線 y=kx の傾きが0より大
きく4より小さいとき、
曲線 y=x-4.x +4x と直線
y=kxx>0における共有
点は2個となる。
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