Question

やまもと ばなな🐤

98番です
解説読んで見てもわからなかったので教えていただきたいですm(_ _)m

第2章 複素数と方程式
7 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, a,b は実数の定数とする。
13x²-2(2a-3b)x+a²+6²=0
VN
発展問題
98
は実数の定数とする。 2次方程式x+(k+α)x+k+α=0がどのよう
なたの値に対しても虚数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。
例題10k は実数の定数とする。 方程式x2+(k+2i)x+(3+6i) = 0 が実数解
をもつように,kの値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。
指針 係数が虚数である2次方程式の実数解。 実数解をαとし, 方程式をiについて整理す
解答 方程式の実数解を x=α とすると a²+(k+2i)a+(3+6i) = 0
について整理すると
(a²+ka+3)+(2α+6) i = 0
Q2+ka+3,2α+6 は実数であるから
Q2+ka+3=0, 2c+6=0
これを解いて a=-3, k=4
箸 k = 4, 実数解は-3
25 O
実数解をもつための必要十分条件として, D≧0 を利用するのは間違い
判別式が使えるのは、 係数が実数のときに限る。
等式を満たす実数xの値を求めよ。
は実数の定数とする。 方程式 x2 + (3k+2i)x+(1+3i) = 0 が実数解をも
うに, kの値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。
解答編

=a+b+c=0 のとき, 2次方程式
たないことを示せ。
D が D
+2)
-1)
ため
20
合わ
必要
えり
値の
an
となることを示す｡
D = 0 すなわち3a+2b = 0 のとき
重解
D< 0 すなわち3a+260のとき
異なる2つの虚数解
00
98
■指針
xの2次方程式x2+(k+α)x+k²+a=0がど
のようなkの値に対しても虚数解をもつ
x² + (k+a)x+k² +a=0
① の判別式をDとすると
⇒ 判別式Dについて, D<0がどのよう
なんの値に対しても成り立つ
D=(k+α)²-4(k²+α)であるから、DOを
kの2次不等式とみて考える。
ここで
これを解いて
D1
実数解をもつため
判別式が使えるの
1
D=(k+a)² − 4(k² + a)
= -3k² +2ak+a² - 4a
① が虚数解をもつための必要十分条件は D<0
すなわち
-3k² +2ak + a²-4a<0
3k²-2ak-a²+4a>0
よって
これを解いて
よって
んについての2次方程式 3k2-2ak-a²+4a=0
の判別式を D とすると,②がどのようなんの
値に対しても成り立つための必要十分条件は
D₁ <0
0<a<3
これを解
②から
これを
したか
える
101
-=(-a)²-3(-a² +4a)=4a(a-3)
4a(a-3) <0
D
こ
よ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みんす

①iについて整理して実部と虚部をつくります。
②できた虚部のところのiを消して計算します（実数解にするため）
終

みんす

不明な点がありましたらどうぞ🤲

やまもと ばなな🐤

すみません💦
iってどこに出てますか？a,kは実数ですよね？

みんす

式に出てきますが…iは習いましたか？
iは虚数といいます。
二乗してマイナスになる数です。
iのつく解を虚数解といいます。

やまもと ばなな🐤

虚数は習いました!
この赤線のところの式です
下のばってんは全く関係ないんです
紛らわしくてごめんなさい！

みんす

あ、下の問題だと思ってました😔
申し訳ないです🙇‍♀️
問題文で「虚数解をもつような」と書いてある時点で
虚数解とはiを含んだ解、ということは
解の方式のルートの中が虚数解、すなわち0より小さくなるということです。
なのでルートの中である判別式Dが0より小さい
→D<0
の式を使って求めます。
Dを求めると、Kについての二次方程式ができます。
ここで？？？となるのがD/4なんですかね。
Kについての二次方程式のbのところが、2の倍数のとき、D/4で求められます。このときD/4=b^2-acになります。なのでこれを求めると4a（a−3）<0
a<0,3より
0<a<3

不明な点がありましたらどうぞ🤲

やまもと ばなな🐤

お手数おかけしてすみません!とても分かりやすい解説をありがとうございます😊おかげで納得することが出来ました(*^^*)