数学
大学生・専門学校生・社会人

三角関数の問題に関して質問いたします。

sinθ+√3cosθ=tのところですが、
これは問題で既に与えられている内容ではありますが、実際自分で置き換えるとなった場合導き方が分かりません。 もし問題でsinθ+√3cosθ=tと与えられていなかった場合、どのように置き換えを考えればよいですか?sinθ+√3cosθ=tとなった根拠が知りたいです。

分かる方お教えください。
よろしくお願いいたします。

+1 y=cos20+√/3 sin20-2√3 cos 0-2sin0① について、 次の問いに答えよ. (1) sin0+√3 cos0=t とおくとき,tのとりうる値の範囲を求 π T≧0≦0のとき, 関数 2 - めよ. (2) ① を t で表せ. (3) ①の最大値、最小値とそれを与える0の値を求めよ.
三角関数

回答

✨ ベストアンサー ✨

位相を合わせるために2倍角を使うと

(与式)
=cos²θ -sin²θ +2√3sinθcosθ -2√3cosθ -2sinθ
...(A)

となります。この最大最小を考えるとき、sinとcosを合成して1つの三角比で書きたいので
合成の使えるa cosθ + b sinθの形を使って

(与式)
=(a cosθ + b sinθ)² + c(a cosθ + b sinθ) +d

となるa,b,c,dが存在すると考えます。
これを一旦展開してみると

a²cos²θ+b²sin²θ+2ab sinθcosθ
+ac cosθ+bc sinθ+d

となりますが、(A)の式に合わせて定数項を0にしたいので
d=d(sin²θ+cos²θ)=d sin²θ + d cos²θ
としてcos²とsin²の係数を帳尻合わせをします。

すると展開した式は

(d+a²)cos²θ+(d+b²)sin²θ+2ab sinθcosθ
+ac cosθ+bc sinθ

となるので(A)の式と見比べて

a²+d=1
b²+d=-1
2ab=2√3
ac=-2√3
bc=-2
の連立を考えることになります。
下2つからa=√3bなので、2ab=2√3に代入して
2×√3b×b=2√3
b=±1
(a,b)=(√3,1),(-√3,-1)
いずれのときでもd=-2となり、bc=-2から

(a,b)=(√3,1)のとき
c=-2

(a,b)=(-√3,-1)のとき
c=2

以上から
(a,b,c,d)
=(√3,1,-2,-2),(-√3,-1,2,-2)

いずれの場合でも代入してみると与式は以下の様に変形出来ます。

(与式)
=(√3cos+sinθ)²-2(√3cosθ+sinθ)-2

あとの流れは解答と同じかと思います。

てれきち

回答ありがとうございます‼️
すごく詳しく説明してくださり、理解することができました😊‼️
本当にありがとうございました😊

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