Question

ふぃり

数学得意な方を教えて下さい。解けてはいるのですがモヤモヤしています。

(問題)2項定理から、不等式(1 +2)^n≧ 1+ 2n+2n(n− 1)が成り立つ。
これを利用して数列｛n/3^n｝の極限を求めよ。

・元々挟み撃ちが苦手というか、仮にnの符号が−なら逆になりませんか？
・参考がなぜ成り立つのか分からないです。(1+h)を使う事だけ知りました。

[225]
(1+2)*≧1+2+2n(n-1)から3"≧1+2m2
1
3n
1+2m²>0x+6==1+²2²
1+2²0から
よって
3"
ここで lim
0<=
n
n→∞ 1+2m2
3n
=lim
1118
n
1+2n ²
1
n
1
n²
・+2
また
:0
【
したがって、はさみうちの原理から lim =0
n
11-00 3"
n
参考 a>1のとき, lim -=0が成り立つ。
no an
>O
すなわち、数列
79)
18
(3)
の極限は 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

誤解を恐れずに言うと、はさみうちの定理で用いる不等号(<,≦)は、nが小さい時に成り立ってなくても大丈夫です。n→∞を考えているので、ある程度大きいnで成り立っている必要はありますが、負の数含め、小さい数で成り立っていなくても用いることができます！

数学にわか

添付した画像が見えにくいかもしれません💦
読めない部分がありましたら遠慮なく仰って下さい！

ふぃり

夜分遅くに失礼します。
何と申し上げていいか…本当に毎度助けられてます😭
今回も分かりやすい説明をありがとうございます！！
↓私なりにまとめてみました

数学にわか

一点だけ補足をしたく、画像を添付しましたのでご確認ください！

ふぃりさんがまとめられたものの中に、「n/a^nを"nが定数だから"1/∞のような感じに考えられる」とありますが、n→∞を考えているのでnは定数ではなく∞に発散してしまいます💦

したがって∞/∞ という不定形になってしまうので、先ほど送ったように工夫して考える必要があるわけです！

数学にわか

最後が切れてしまいました💦

したがって∞/∞ という不定形になってしまうので、先ほど送ったように、二項定理やはさみうちの定理を用いて示す必要があるわけです！

ふぃり

またまたお手数おかけしてすみません💦😰
もうあの通りしかないんですね、了解です！
親切にいつもありがとうございます😿

数学にわか

全然大丈夫ですよ！👍
極限の範囲は少し抽象的で分かりにくい部分も多いですよね💦
自分のペースで頑張ってください！🔥

こちらこそいつもありがとうございます♪
お力になれて良かったです✨