Question

大学生

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、x^3±(2-a)x^2……の式がどのようにして作られたのかわかりません。教えてください！！

□99 方程式x+6x2 + ax + b = 0 が -1を2重解としてもつとき,定数a,bの
を求めよ。また,他の解を求めよ。
△ 100*3 次方程式 tarth-
( 20L T

-1)
= 0
99 方程式が2重解-1と他の解
α (αキ-1) をもつとすると, 方程式は
(x+1)²(x− a) = 0
と表される。符号は「~?
(x+1)(x-a)(S)①
=x+(2-α)x²+(1-2a)x-α
3 $0=+²+x²
+S
=
tor

であるから, 方程式x+6x²+ax+b=0
は x³ +(2-a) x² + (1-2a)x-a = 0
となる。
&£
16=2-α
a = 1-2a
16=
X
① より
a = -4
これを②,③に代入して
a = 9, b = 4
#A#
よって
他の解は
a
x=-4
167
-X
NEXT
...
・①
(2)
3
...
..
ea.

Answer 1

Rousseau

αという解ですよ。
たとえば(x-α)=0というのは、x=αを代入すると式が成り立つというわけです。

話を戻すと、

“一次方程式は解が一つ”
“二次方程式は最大で解が二つ”

ですよね。三次方程式も同様に解を三つ持ちます。

しかし、二次方程式以上になると、”重解”が出てきます。

たとえば、二次方程式(x-1)^2=0というのは、

(x-1)(x-1)=0、つまりx=1, x=1 です。

解は二つだけど、同じ値なので”重解”と呼びます。

三次方程式では、解が三つなので”重解”の組み合わせが二つあります。

①全部同じ値　(x-1)^3=0 など

②二つは同じ値で、残りは違う値　(x+1)(x-1)^2=0など

ここで問われている”重解”は②の方です。

“-1を2重解として持つ”
　　　　⇅
解のうち二つが-1、一つは別

ということです。

もう一つの解をαと置くと、

今までのことを網羅すると、

(x+1)^2(x-α)=0 となります。

あなたがおっしゃっていた、

　 　　“なぜカッコ内が-αなのか”

逆に聞きます。もし(x+1)^2(x+α)=0としたら、

解はどうなりますか。

解は-1, -α となってしまいますね。

あとは、(x+1)^2(x-α)=0 を展開するのみです。