数学
高校生

極限を求める問題です。
途中式を見ても理解できなかったので解説お願いします。

3/1+x - ³/1-x x 1 S= (1+x)-(1 − x) = lim 3 x→0 x ³√/ (1+x)² +3/(1+x)(1− x) + ³√√(1-x)² (4) lim x-0 2 = lim x →0 ³√/ (1+x)² + ³√/1-x² + 3√(1-x)² 3 3 2 2-3
関数の極限 極限 数ⅲ

回答

1行目から2行目は、
x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
の因数分解を利用しています。
x=³√(1+x)、y=³√(1-x)
として考えて

分母分子にx²+xy+y²をかけると、
分子…(x-y)(x²+xy+y²)
   =x³-y³
分母…x²+xy+y²
あとはx,yを代入してください

カジュ

xとyに置き換えたら理解できました!
ありがとうございます

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まず分母も分子も0に行くから崩したいのと考えて上が引き算であることから逆有利化を考えます。
ここでx^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)を思い出しましょうx、yをそれぞれ三乗根の1+x、1-xとすれば分子からルートが消えて分子が足し算の形になりました。すると分母は3に飛び分子は分母のxで割ると2になって答えが2/3となります。
ルートの引き算が出てきたら逆有利化を考えるのが定石ですね。今回は3乗根だったのですこし迷うかもしれませんが上の公式とその一般バージョンは有名なので覚えておいて損はないです。もちろん2乗根もその一種ですよ。
よろしいでしょうか?

カジュ

ありがとうございます
今後の問題も逆有利化意識して解いていこうと思います🙇🏻

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1行目から2行目で、
 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)を用いて、分子の有理化をしています。

カジュ

理解できました!
ありがとうございます

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