Question

ティティ

積の微分と普通の微分？の違いがわからないです……。
zをxで2回偏微分の時は、エックスだけを文字としてみるから、cosの方だけもう一度微分して、zをｘとｙで1回ずつ偏微分する方は、両方の文字を文字として見るため、積の微分をしなければならない……ということでしょうか……。
説明が上手くなくて伝わりにくいかもしれません💦
回答よろしくお願いいたします

(3)' z = sin xy?
8²2
Ər²
よって、
dz
Ər
-y² sin ry,
+
1, 20²%
Ər²
[2²
= y cos xy,
2!
8²%
Ərəy
əz
Əy
əz
Əz
z = 2(0,0) + x2 (0,0) + y (0,0)
dy
= x cos xy
8²%
(0,0) + 2xy əxəy
=0+0+0+1/(2xy(+1)) +･･･
= 0 + xy +
= xy +...
= cos ry-ry sin ry,
8²%
Əy²
= -1² sin ry.
(0,0) + y2022
(0,0)] + ...
dy²

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

∂/∂x

２変数関数を偏微分する際、その偏導関数は微分変数の順序によりません。
なので写真の通りになります。

∂/∂x

誤字
∂z/∂x∂yではなく∂²z/∂x∂yです

∂/∂x

またまた誤字
数式の最後の行、cosxy-ysinxyではなく
cosxy-xysinxyです

ティティ

回答ありがとうございます！

どちら(微分すべき対象)にもyという関数が入っているからということでよろしいでしょうか？

∂/∂x

僕の送った写真の数式の2行目の括弧内の式をyで微分する時に、
これはxを定数と見なせば、単なる数IIIの積の微分です。
d(ycosxy)/dy=-xysinxyですね

ちなみにyは関数では無く単なる独立変数です。
zがxとyの関数なのであって、xとyの間に関係はありません。

ティティ

分かりました!!

ご丁寧に回答して頂きありがとうございます!!

∂/∂x

お役に立てて何よりです👍

Answer 2

カルロス

もう一人の方の回答が不正確だったので一応補足しておきますが、偏微分の順序交換はいつでもできるわけではありません。

C²級であれば可能です。その問題のzは順序交換可能です。

まあ、教科書とかテストとかに出てくる関数はたいてい順序交換できるものだと思いますのであまり気にしなくていいのかもしれませんが、本来は気にすべきところです。

詳細は「偏微分　順序」などでググれば解説サイトなり動画なり出てくると思いますので、気になるようでしたらお調べください。

・どんな関数でも偏微分の順序交換ができるわけではない
・が、出てくるの関数のだいたいはできる
くらいの認識でもいいので、頭に置いておいてもらえたらと思います。

ティティ

回答ありがとうございます！

いつでも出来る訳では無いのですね?!初めて知りました……。少し気になったので調べてみます！
わざわざ書いて下さりありがとうございます💦

カルロス

数学科の授業であれば必ず触れられると思います。

文系学部の教養科目の授業とかだったら触れられないかもしれません（受けたことないのでわかりませんが）。

もしかしたら本や授業では触れられないかも知れませんが、上に書いた程度の認識でもいいので頭の片隅に置いておいてもらえればと思います。