数学
高校生

不定方程式7x+10y=150についてです。🙇🏻‍♀️

解説(写真)ではx=10nをまず出して、それを③の式に代入してyを出すという方法で答えが出ています。

ですが私はいつも7と10は互いに素だからxは10の倍数、y-15は7の倍数、と考えて答えを出してました。

すると
y-15=7n
y=7n+15
となり、符号がズレてしまいます。

どこが間違っているか教えて頂きたいです。

7 10 y=150 8-A となり,この不定方程式の一つの整数解はx=0, y = 15 であるから 20 7.0+10.15= 150. AADE ① ② より すなわち x+ po(²) (+)sk 7x+10(y-15)=0 Casal 7x=-10(y-15). ここで, 710 は互いに素であるから, xは10の倍数である. よって,nを0以上の整数として x= 代入して 10 n と表される. これを③に y-15-7m すなわち y= 15 ① 7 n
不定方程式

回答

✨ ベストアンサー ✨

読む限り、

>私はいつも7と10は互いに素だからxは10の倍数、y-15は7の倍数、と考えて答えを出してました。

という方法に問題があります
そのような考えで立てられる式は
x=10nとy-5=7mという感じですね
同じ文字nのみでは無理です
別の文字mなどを出してこなくてはならなくなります
そして、これではうまく進められません

模範解答通り、まずはxは10の倍数、x=10nとし、
これを代入してy-5=…と、順を追ってやってください
いっぺんには無理です

あなたの方法で(たまたま)うまくいくのは
○x-△y=□の形です
○x+△y=□の形だと毎回今回のような壁に当たりますよ

ハム太郎

確かにひとつの文字だけで表すとなるとそうしなきゃですね…!気づけてよかったです。
ありがとうございました(՞ . .՞)"

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回答

『y-15は7の倍数だから、nを0以上の整数として

y-15=7n

と表せる。

これを③に代入して

7x = -10・7n すなわち x=-10n』

これではダメなのか?という話ですか?

カルロス

すみません、y-15が0以上の整数とかいう条件はなかったですね。

画像を真似して書いてたらミスってしまいました。

どういう問題なのか不明ですが
「nを0以上の整数としてx=10nと表される」
ということはxは0以上の整数なのだと思います。

で、yのほうの条件は不明ですが、y-15=7nでやってくと(このときのnが何なのかも不明ですが)、

x=-10n
になると思います。

nが何なのかは不明ですが、0以上の整数xをx=-10nという形で書くことはあまりしないです。

ハム太郎

ありがとうございます!🙇🏻‍♀️

カルロス

xやyに特に条件がなく整数だったらなんでもOKで、記述式の問題だったら、その不定方程式の一般解として

(x,y) = (-10n, 7n+15) (n:整数)

でもいいと思いますよ。

ちなみにこれは

(x,y) = (10n, 15-7n) (n:整数)

としても同じです。

おそらく、今回の場合、x≧0という条件があり、⬜︎に入るのは自然数っぽいので、(x,y) = (-10n, 7n+15) のほうだとはまらないだけですね。

ハム太郎

詳しくありがとうございます!!
腑に落ちました。

おっしゃる通りで「x,yは0以上の整数である」という条件がありました。(問題への導入?部分が長かったので省いてしまいました、すみません)

もう1つ質問なのですが、特殊解に何を選ぶかによってnを用いたx、yの表し方は変わりますか?
実は私は初見で特殊解をx=10、y=8として解こうとしたのですが、写真のように模解とは違う答えになってしまいました。(この写真の計算が間違ってるだけかもしれません…)
もし変わるのなら、共通テスト(これは予想問題ですが)はエ〜クの□が綺麗に埋まるような特殊解を見つけることも要求しているということなのでしょうか…?

カルロス

特殊解に何を選ぶかによってnを用いたx、yの表し方が変わるということはあり得ます。

ただ、ハム太郎のご回答の場合は表し方の問題ではないです。

「7x+10y=150の整数解を求めろ」
という問題は
「7x+10y=150を満たす整数の組(x,y)を(全て)求めろ」
という意味です。
(今回の場合は、整数→0以上の整数 ですが、整数解を求める場合の説明をさせていただきます。)

「整数x,yが7x+10y=150を満たしているとき、x,yとしてどんなものが考えられるか?」
と置き換えてもらってもいいです。

で、『7x+10y=150を満たす整数の組』というのは無数にあるわけです。

(x,yがともに0以上の整数の場合は、『7x+10y=150を満たす整数の組』は有限個です。画像参照)


-140+290=150だし ←(x,y)=(-20,29)
-70+210=150だし ←(x,y)=(-10, 21)
0+150=150だし ←(x,y)=(0,15)
70+80=150だし ←(x,y)=(10,8)
140+10=150だし ←(x,y)=(20,1)
210-60=150だし ←(x,y)=(30,-6)

無数にあるので全てを具体的に列挙するのは不可能なので

(x,y)=(10n,15-n), nは整数

みたいな書き方をするわけです。

ハム太郎さんのご回答の整数解を具体的にいくつか挙げると

(x,y) = (0,-15), (10, -22), (20, -29)
などがありますが

7x+10y=150

を満たしてません。他には(-10, -1), (-20,6)などもありますが、こちらも

7x+10y=150

を満たしていません。

ハム太郎さんのご回答の場合は、表し方の問題ではなく、一般解を求める過程にミスがあったと思われます。

カルロス

『整数x,yが7x+10y=150を満たす
⇒ 整数x,yは7(x-10)=-10(y-8)を満たす』
これは正しいです。

『整数x,yは7(x-10)=-10(y-8)を満たす
⇒x-10は-10の倍数であり、かつ、y-8は7の倍数である』
これも正しいです。

『x-10は-10の倍数であり、かつ、y-8は7の倍数である

(x-10, y-8) = (-10n, 7n) , nは整数』
これは正しくないです。

カルロス

あっ、なんか最初呼び捨てになってしまっていました😱😱失礼しました🙇‍♂️

カルロス

『7x+10y=150を満たす整数の組(x,y)を求める』
のが目的なのですから

x=-10nとわかったら、これを7x+10y=150に入れてyを出せばよいのです。

で、実際にyを出してみると、y=7n+15となり、7x+10y=150を満たす整数の組(x,y)は

(x,y) = (-10n, 7n+15) (n:整数)

となるわけです。そして

(x,y) = (-10n, 7n+15) , n:整数

(x,y) = (10n, 15-7n) , n:整数
と同じです。

どちらも↓の右側の組たちを表すものです。


-140+290=150だし ←(x,y)=(-20,29)
-70+210=150だし ←(x,y)=(-10, 21)
0+150=150だし ←(x,y)=(0,15)
70+80=150だし ←(x,y)=(10,8)
140+10=150だし ←(x,y)=(20,1)
210-60=150だし ←(x,y)=(30,-6)

特殊解の取り方によって一般解は

(x,y) = (-10n, 7n+15) , n:整数
とか
(x,y) = (10n, 15-7n) , n:整数

になりうるわけですが、表してるものは同じなのでどちらでも問題ないです(条件がなにもなければ)。

ただ、今回の問題は、「x,y は0以上の整数」と「nを0以上の整数として」という条件があるので

(x,y) = (-10n, 7n+15) は不適です。

> エ〜クの□が綺麗に埋まるような特殊解を見つけることも要求しているということなのでしょうか…?

そういうことではないと思います。

特殊解(x,y)=(10,8)を使った場合、xは-10の倍数だとわかるわけですが、-10の倍数で0以上のものって

…40, 30, 20, 10, 0

で、10の倍数ですよね。

10の倍数だからx=10n (nは0以上の整数) とおけばいいわけです。

「xは0以上の整数」、「nを0以上の整数として」とあるのに

x=-10n

とおくのは不自然、というか間違いです。

ハム太郎

ご丁寧にありがとうございます😭

選んだ特殊解によって一般解が異なるものもあるけど、この問題はそうじゃないという解釈で合ってますかね?

だいぶ理解できたのですが、「x=-10nとわかったら、これを7x+10y=150に入れてyを出せばよい」という部分だけ少し疑問があります。

もし「y-8が7の倍数だからy=7n+8だ!これを7x+10y=150に代入しよう!」とy先行で考えてしまったら間違えてしまうと思うのですが、

ここでxを先に定めるのはなぜか教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

カルロス

「選んだ特殊解によって一般解が異なる」
というより、『表しているものは一緒だが、表し方が違くなることはある』ということです。

(x,y) = (-10n, 7n+15) , n:整数

(x,y) = (10n, 15-7n) , n:整数
は同じものを表していることはおわかりになりますか?

この問題については、x,y≧0という条件があり、また「nを0以上の整数として」と書かれているので、(x,y) = (-10n, 7n+15) という『表し方』は無理だということです。

「y-8が7の倍数だからy=7n+8だ!これを7x+10y=150に代入しよう!」
とやっていった場合、私の計算にミスがなければ、一般解は

(x,y)=( 10-10n, 7n+8) , nは整数 

となると思います。

で、これは

(x,y) = (10n, 15-7n) , n:整数

と同じです。

m=-n+1と置いたとき、n=1-mなので

10-10n = 10-10(1-m) =10m,
7n+8 = 7(1-m)+8 = 15-7m

です。

(x,y)=( 10-10n, 7n+8) , nは整数

(x,y)=( 10m, 15-7m) , 1-mは整数 
となりますが、

1-mは整数

mは整数

ですから、結局

(x,y)=( 10m, 15-7m) , mは整数 

です。

わかりにくかったら

(x,y) = (-10n, 7n+15)
のnに整数を具体的に入れて解を列挙し、

(x,y) = (10n, 15-7n)
のnに整数を具体的に入れて解を列挙し、

(x,y)=( 10-10n, 7n+8)
のnに整数を具体的に入れて解を列挙し、

比べてみてください。

同じだということがわかると思います。

カルロス

すみません、訂正です。

『私の計算にミスがなければ、一般解は

(x,y)=( 10-10n, 7n+8) , nは整数 

となると思います。』



『私の計算にミスがなければ、一般解は

(x,y)=( 10-10n, 7n+8)

となると思います。

なので、7x+10y=150の整数解、つまり7x+10y=150を満たす整数の組(x,y)は

(x,y)=( 10-10n, 7n+8) , nは整数

となります。』

でした。

ハム太郎

なるほど! 理解できました!
yの方を代入しても解けるには解けるんですね!

噛み砕いて分かりやすく説明してくださり本当にありがとうございました!😭

カルロス

一つ補足ですが、7x+10y=150の一般解として
(x,y)=(10-10n, 7n+8)
でも間違いではないのですが、あまりキレイではないです。

7x+10y=150の整数解を具体的にいくつか挙げると

(x,y)=(-20,29)
(x,y)=(-10, 22)
(x,y)=(0,15)
(x,y)=(10,8)
(x,y)=(20,1)
(x,y)=(30,-6)

などですが、これらをnを使って一般的な形で書いたものを一般解だと考えると

(x,y)=(10-10n, 7n+8)

というのは、たしかにそうは書くことはできるけど、ちょっとなんだかなぁと。

(x,y)=(10n, 15-7n)

(x,y) = (-10n, 7n+15)

のほうがシンプルかなぁと。

テスト等で減点されるかはわかりませんが、シンプルな形で書いたほうが印象はいいかなと思います。

ハム太郎

たしかにシンプルなのに書き換えた方が良さそうですね…!
ありがとうございます₍ᐢ.ˬ.ᐡ₎

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