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ある（逆関数を持つ）関数とその逆関数を合成したとき、それがy=xという関数になるのはなぜか？というご質問でしょうか？
まず「関数」の定義ですが、
Xを空でない集合としたとき
「X上の関数とは、Xの各元に対し"ただ一つ"数を対応させるもの」
です。Xを関数の定義域と言います。
関数の例を二つ挙げます。二つとも定義域は「全ての実数からなる集合」とします。
（1）f(x)=2x
これは
…
-1 ↦ -2（-1に-2を対応させた）
-1/2 ↦ -1
0 ↦ 0
1/2 ↦ 1
1 ↦ 2
…
というものです。
（2）f(x)=x^2
これは
…
-2 ↦ 4
-1 ↦ 1
0 ↦ 0
1 ↦ 1
2 ↦ 4
…
というものです。
次に、逆関数とは何か？ですが、当然ながらその名のとおり逆関数も「関数」です。では何が「逆」なのか？
（1）の関数x ↦ 2xを例に説明します。（1）の関数は
…
-1 ↦ -2
-1/2 ↦ -1
0 ↦ 0
1/2 ↦ 1
1 ↦ 2
…
というものでした。
これの逆関数はこういうもの↓です。
…
-1 ↤ -2（-2に-1を対応させた）
-1/2 ↤ -1（-1に-1/2を対応させた）
0 ↤ 0
1/2 ↤ 1
1 ↤ 2
…
注意して頂きたいのは、これが「関数」になっていることです。
（2）の関数x ↦ x^2の逆関数を考えてみましょう。
…
-2 ↦ 4
-1 ↦ 1
0 ↦ 0
1 ↦ 1
2 ↦ 4
…
これの逆関数は
…
-2 ↤ 4
-1 ↤ 1
0 ↤ 0
1 ↤ 1
2 ↤ 4
…
というものでしょうか？違います。これは「関数ではない」からです。
「定義域の集合の各元に対し"ただ一つ"数を対応させるもの」が関数です。
にも関わらず-2 ↤ 4、2 ↤ 4と、4は-2および2に対応させられており、-1 ↤ 1、1 ↤ 1と、1は-1および1に対応させられています。
こういうものは関数ではありません。
例えば、f(x)=x^2の定義域を「全ての実数からなる集合」ではなく「0以上の実数からなる集合」にすれば、xとx^2は「一対一に対応」しますので逆関数を考えることができます。
で、ある（逆関数を持つ）関数fと、その逆関数を合成したときに、なぜそれがx↦xというものになるのかという話ですが、それは
x ↦ f(x) ↦ x
（一つ目の↦ がf、二つ目の↦ が逆関数f^-1）
ということをやっているからです。
f(x)=2xだったら
-2 ↦ -4 ↦ -2
-1 ↦ -2 ↦ -1
0 ↦ 0 ↦ 0
1 ↦ 2 ↦ 1
2 ↦ 4 ↦ 2
といった具合です。
丁寧な解説ありがとうございます🙇🏻♂️
理解できました！