Question

さこ

[数3|無限級数]に関する質問です🙇🏻‍♂️

数3の演習をたくさんした方にお聞きします！

(3)なのですが、解法の流れは理解しているのですが、どうでもいいことが気になっています。

最初、黄色の部分をみたときどうしてわざわざ−を2回掛けるような作業をしているのか分かりませんでした。

流れとしては、『なにをどうやっても【真ん中の無数に続く式を消すことができない】から【等比数列を作ること】を目標にした』ということだと思うのですが、なぜ最初に−をかけているんでしょう🤔

そこで思ったのですが、ピンク色の部分は【A(x)の第n−1項】にxを掛けたものですよね？
なので本来は【(-1)^n-2・(n−1)・x^n-2】で符号がピンクの部分と異なっています。

解答では上下の式でx^n-1の項を綺麗に【(-1)^n-1】の形のまま足すことができるように最初に−を掛けたんでしょうか？

11 無限級数/nrn
nは自然数とし,t> 0 とする. 次の問に答えよ.
(1) 次の不等式を示せ.(1+t)"≧1+nt+ n(n-1)f2
2
(2) 0<r<1とする. 次の極限値を求めよ.
(3) 0<x<1のとき, A(x)=1-2x+3x2+..+(-1)n−1nxn-1+･･･ とおく. A(x) を求めよ.
(大阪教大-後/一部省略)
これは∞×0の不定形であるが, nの1次式が∞に発散するより指数関
数が0に収束するスピードの方がはやくて, nr”→0になる, ということである (一般に多項式の発散よ
り指数関数が0に収束するスピードの方がはやい) 指数関数を評価する (大小を比較する不等式を作
る)ときは,二項定理を用いて (途中でちょん切って) 多項式で評価することが基本的手法である。
(2) は (1) とはさみうちの原理を使う.
limnr"=0(0<r<1)
(1)
1-80
■解答
(1) n ≧2のとき, 二項定理により,
(1+t)"="Co+nCit+nC2t2++nCntn
≧nCo+nCit+nCzt2=1+nt+
n(n-1)
2
-t² (t>0)
が成り立ち, n=1のときもこの結果は正しい (等号が成立する).
1
(2) (1)から, 0-
n
(1+t)^
..
①→0 (n→∞)により, はさみうちの原理から, lim
_ 1-(-x)n
1-(-x)
(∵0<x<1により, (-x)"→0,
1+nt+
lim (1+x) Sn=
n→∞
1
1+x
n
数列{an}の第n項をan=-
n
n→∞ (1+t)"
-=rとおくと, 0<r<1のときt>0であるから、②から, limnr"=0
(3) A(x)の第n 部分和をSとする.
Sn=1-2x+3x²-4x3+
n
2n
:.
n(n-1)t2 1
2
n
・+(-1)"-1n.xn-1
_-)-:S= -x +22-3㎡ + ...... +(-1)^(n-1)xn−1+(-1)"no"
(1+x) Sn=1-x + x² −x³ +
..+(-1)^-1xn-1-(-1)"no"
-(-1)"no"
とする.
n→∞
lim
n→∞
1
1+x
11 演習題 (解答は p.28)
lim Sn=
n2-00
n
lim nrn
n100
(1+t)n
--0
+t+
(-1)"no"|=nz"→0)
1
(1+x)²
n-1
2
=0
+2
n→∞
(2)
←左辺-右辺を f(t) とおいて、 麦
分を使って(2回微分する)
こともできる.
←=1-1
←(-1)^-1nz"-1=n(-x)"-1
により,
Sn= ±k ( − x)²-1
k=1
←lim (-1)"no"|=0 により,
118
lim (-1)"nz"= 0
11-0
S
27
S
S₁
S

無限級数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

てと

流れとしてはその解釈で間違いないです！
誤解してると思うのですが、ピンク色の部分はxではなく
-xを掛けたものです。
上下の式で項が綺麗に足すことができるように「-x」を掛けてます！
黄色の部分では、−を2回掛けているわけではなく、
Snに-xを掛けて、引き算の筆算と同じ方法で計算しています！

まあ「−を2回掛けた」、このことに気付けばSnにxを掛けて足し算の筆算を行えば同様の答えが出ることに変わりはないのですが、基本的に等差数列×等比数列の和の形のものは
引き算の筆算で行うのが通例ですかね。

さこ

返信遅くなってしまって申し訳ありません🙇🏻‍♂️
理解できました。ありがとうございます！