数学
高校生

なぜa+bが7で割り切れたらa^2-b^2も7で
割り切れるのか知りたいです。
(黄色の線が引かれてるところです)

お願いします!

割り算の余りの性質 2つの整数a,bを7で割ったときの余りがそれぞれ3, 4 である 教 p.146 18 とき、次の数を7で割ったときの余りを求めよ。 (1) a+b (2) 2a-3b (3) a² 指針 割り算の余り α, bを7×(商)+(余り) の形で表し, (1)~(4) をそれぞれ計 算する。その計算を7×(商)+(余り) の形に変形し, 余りを求める。 答a,b は, k, lを整数として,次のように表される。 a=7k+3, b=71+4 (1)a+b=(7k+3)+(71+4)=7(k+Z+1) よって, a+bを7で割ったときの余りは 0 (2) 2a-3b=2(7k+3)-3(71+4)=7(2k-31)+6-12 =7(2k-31-1)+1 よって, 2a-36を7で割ったときの余りは 1圈 (3) α²= (7k+3)=7k²+2・3・7k+3°=7(7k²+6k+1) +2 よって, a2を7で割ったときの余りは 2 (4) α²-b2=(7k+3)^ー(71+4) (4) a²-6² =(72k²+2.7k・3+3²) - (7212+2・7Z・4+4² ) =7(7k² +6k-71²-81)+9-16=7(7k²+6k-71²-81-1) よって,α-b2を7で割ったときの余りは 0 別解 (4) α2-6²=(a+b)(a-b) (1) より a +6は7で割り切れるから, a-bも7で割り切れる。 よって, ²-62を7で割ったときの余りは 0 注意 それぞれの余りは, a, b の余りに注目すると, (1) では 3+4を, (2) では2・3-34 , (3) では 32 , (4) では 32-42 を, それぞれ7で割ったときの余りに等しい。

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