数学
高校生

ケからお願いします

-n(x+1)-n=n² つ和は13169 だから第 169 数だから、初 次の1の 鯛の奇数 ので 46 月 日 AさんとBさんの2人が数列の問題について話をしている。 次の会話文を読んで、下の各問い に答えよ。 Aさん: この前の授業で、次のような数列の問題を解くことになったんだ。 次のような数列がある。 ただし、分母が”である分数は (21) 個ある。 分母が8である項の最初から3番目の数を求めよ。 次に,この数列の第167項 を求めよ。 さらに、 初項から第167 項までの和を求めよ。 この問題を解くのに、 数列の規則から、分母が8である項の最初から3番目まで書き上げ て答えたんだけど、第167 項までは、時間が足りなくて書ききれなかったよ。 もちろん和 も求めることができなかったんだ。 Bさん: この問題の場合なら、 分母が同じ項をまとめて1つの群として考えればいいんじゃない。 つまり、第群には分母が"である数が (2n-1) 個あり、 2n-1 2n-2 .…... - と並んでいるんだ。 n だから、書き上げなくても, 分母が8である項は第8群にあって、 第8群の最初の数の分 子は2×8−1 = 15 だから とわかるよ。 分子の数は1ずつ減っていくので、分母が8である項の最初から3番目の数は となるよ。 で,第20群 Aさん:なるほど, じゃあ、 第20群の25番目の数を考えると, 分母の数は には ウだね。 でも,こうも考えられるよね。 第20群の最後の数は第20群の 番目の数で、前か ら25番目の数は,最後の数を1番, その手前の数を2番と数えると最後からエ 番 だから、その数の分子の数はエといえるね。 25番目の分子の数は等差数列の考えを用いて 個の数があり、 でも,この数列の第167項を求めるのはどうするの。 B さん: 第167項が, 第何群の数かを考えればいいんだよ。 第群には, (2k-1) 個の数があるんだから 第1群から第群の最後の数までは 1+3+5+ ···· +(2n-1)=オ(個) の数があるよ。 つまり, 第群の最後の数は、与えられた数列の第 ら. 第167項が第群の数だとすると,167 項だよ。 だか を満たす最小の自然数nを求めれ ば、第167項が第何群の数かわかるよ。 167 を満たす最小の自然数nはカだから,第 167項は第ヵ群の数だね。 だね。 第167 項は Aさん:そうか 第ヵ群の最後の数はキだから, 第167項は わかったけど,和はどうやって求めればいいのかな。 月日 Bさん これも群でまとめて考えればいいんじゃないかな。 つまり、第の数の和を最後の 数から書くと +++......+2k-1. k k だよね。 Aさん:群ごとの和を使うのか。 わかったよ。この場合なら、第群の最後の数までの和はだから、初環から 第167項までの和は, だね。 この会話から数日後、AさんがBさんに話をしています。 Aさん (1) (2) さん, 群を用いて考える同じような問題を考えたよ。 B 数列 1, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11. 13. 1. ------ がある。 (i) 8回目に現れる1は第何項か。 ()初項から8回目に現れるまでの項の和を求めよ。 ( この数列の第2020項を求めよ。 この問題も同じように解けるね。 [ア~エに適する数を求めよ。 オには,nを用いた式を求めよ。 カ クに適する数を求めよ。 には,kを用いた式を求めよ。 サに適する数を求めよ。 (3) (4) (5) E (6) 下線部の問題 (1)を解け。 (7) 下線部の問題(Ⅱ)を解け。 (8) 下線部の問題(画面)を解け。 Pu 20 79 77-15 Ju a 2.20-25 20 2.20-1:39 →25 -728 Im15. 15 ・13・11/13 29 6²?/17 c=17 15-169 2.13-15
46 (1) 20 15 39 (3) ウ 15 ただし、分母が”である 第20群の項数は 2×20-1-39 だから 初39. 公差 -1の等差数列の第2項だから 39+(25-1)-(-1)-15 よって、分子の数は 15 最後の数は、39番目。 これを1番とするのだから最後の手前の数は、38 番目で2番となる。 よって、 25番目の数は最後から15番となる。 最後の数の分子は1で、手前になるにしたがって 1ずつ増えるので、分子の数と一致する。 よって、分子の数は 15 (2) ² 1+3+6++ (2x-1)/2/12(1+(2m-1)) 13 1/13 13 167 ㎡" を満たす最小の自然数nを求める。 12のとき 144 -(1+2++(2k-1)) -24-¹(1+(2k-1))-24-1 13 のとき 169 の値はの値が大きくなるにつれ大きくな るので、求めるはn=13 第167項は、第13群の最後から3番目の数だか 5 13 (4) 72k-1 (5) E 169 (2k-1)-22-21-n(n+1)-n=n² よって、第13群の最後の数までの和は 13169 第13群の最後の数は, 132169 だから169 項である。 第167項は、 最後の数から3番目の数だから、 初 項から第167項までの和は 169 - ( 13+1) - 2194 (6X7X8) 第群には第回目に現れる1から 次の1の 手前の数までが入るような群を考える。 つまり、群には、1から順に (21) 個の奇数 がある。 11.3.51.3.5.7.91,3,5,7.9.11.13|······ (6) 8回目に現れる1は、 第8群の最初の数である。 第7群には、2×7-113 (個) の数があるので 1+3+ +13+1/(1+13)+1=50 ゆえに、第50 (7) 第郡の数の和は 1+3+...... + (22k-1)-1) 2k¹(1+(44-3))(2k-1)¹ よって,初項から8回目に現れる1までの和は (24-1¹+1-44²-44+1+1 -4.7-8-15-4-78 +7+1 - 7:8 (60-12)+8 648+8 -7-8-8+8=456 (8) 2020が第郡の数とすると、第郡の最 後の数までの項数は 1+3++ (2m-1)(1+(2m-13) ² 2020² を満たす最小の自然数を求める。 44のとき 1936 45のとき 2025 カリの値は、xの値が大きくなるにつれて大き くなるので 求めるは45 よって. 第2020 項は、第45群の数である。 第45群の最後の数は、第2025項で 2×(2×45-1)-1177 よって、2020は、 最後の数から6番目の数 である。 したがって、 等差数列の考え方を用いて 177+(6-1)(-2)-167 以上より 求める数は 167 (別) (9行目から続く) 第45群の最初の数は、 445+11937 だから、 第1937項で1である。 よって、2020は、第45群の最初から34番 目の数である。 以上より 求める数は 2×84-1167 これも 写真を使用 再撮影
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