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計算ミスが起こってるのは①=1/(x-1)∫tdt/t²の部分です。xは積分に関係しているので、1/(1-x)は積分の外に出して計算してはダメです。1/√tと変形すると答えは出ると思います。
ごめんなさい。1/√tではなくて1/tでした。
1-x = tとなっているので1/(1-x) = 1/tですね
普通に解けるものを置換積分してしまいました。それでもなぜ答えが違ってしまったのか教えて欲しいです。積分定数は省略させて頂きます。
∫[1/(x-1)²]dx①
これをパッとやればもちろん-1/(x-1)で、原始関数の分母がx-1だと理解していたのになぜか置換積分の方がいいかなとなってしまい、x-1=tと置いて、(x-1)²=t²
x²-2x+1=t²,2(x-1)dx=2tdt,dx=tdt/(x-1)と進めて、
①=1/(x-1)∫tdt/t²=1/(x-1)∫dt/t=log|x-1|/(x-1)
こうなってしまいました。どう考えても遠回りなやり方だとはわかっていますが、どちらにしても答えが同じになるはずですよね?自分の置換積分の過程のどこかが間違っているのだろうなと思いますが分からないので教えてください。
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計算ミスが起こってるのは①=1/(x-1)∫tdt/t²の部分です。xは積分に関係しているので、1/(1-x)は積分の外に出して計算してはダメです。1/√tと変形すると答えは出ると思います。
ごめんなさい。1/√tではなくて1/tでした。
1-x = tとなっているので1/(1-x) = 1/tですね
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tと置換しているので関係ないから出していいや!とか思っていましたがダメなのですね。勉強になりました。
1/√tとはどこから出たのでしょうか?すみません何度も