Question

ぷりん🍮

三角関数
(2)の2〜5の個数が納得いきません。
グラフを書いて数えたら数が合わないのですがそこを教えていただきたいです。

重要 例題 144 二角方程式の解の個数
a
は定数とする。 0 に関する方程式 sin20-cos0+α=0 について,次の問いに答
えよ。 ただし, 0≦0<2πとする。
(2) この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。」
(1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1)
指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると
前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。 そこで
① 定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右
辺に移項した x2+x-1=α の形で扱うと,関数 y=x²+x-1(-1≦x≦1)のグラフと直
線y=αの共有点の問題に帰着できる。
→ 直線y=a を平行移動して,グラフとの共有点を調べる。 なお,(2) では
x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個,
1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。
解答
CS0=xとおくと, 0≦0 <2πから
方程式は
(1-x2)-x+a=0
したがって
x2+x-1=a
f(x)=x^*+x-1とするとf(x)=(x+1/27) 2012/2
5
-
(1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の
グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。
よって、 右の図から -2 -≤a≤1
(2) 関数 y=f(x)のグラフと直線y=a の共有点を考えて,
求める解の個数は次のようになる。
-1≤x≤1
5
[] a<-2, 1<a のとき共有点はないから 0個
4'
[2]
a=- のとき, x=- 1/2から2個
5
4
[3] -> <a<-1のとき
-¹<x<- 12/1₁ - 12/1<x
れぞれ1個ずつあるから 4個
[6]
<x<0 の範囲に共有点はそ
[6]+
[5]
[4]-
[3]+
[2]
[6] -
[5] -
[2] -
[4]→
この解法の特長は, 放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
グラフをかくため基本形に。
iy=f(x)
1
0
y=a
1
-1
a=-1のとき, x= -1,0から 3個
1<a<1のとき, 0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個
a=1のとき, x=1から 1個
YA
1
重要 143
O
5
12l
1
1x
定数αの値の範囲に
[3]
225
4章
23
三角関数の応用

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

上から2番目のグラフにある通り、
①－1<x<1の範囲では、1つのxに対して、2つのθが対応(1対2の関係)で、
②x＝±1では、1つのxに対して、1つのθが対応(1対1の関係)になっています。
[2]x=-1/2は上記①の範囲にある。よってθは2個
[3]上から1つ目のグラフからこのaの範囲はxの値は－1<x<-1/2に1つ、-1/2<x<0に1つ持つことに対応。
よって2つのxは共に①の範囲なので、2つのxに対して4つのθが対応。よってθの個数は4個。
[4]x=-1は上記②より1つのθが対応、x＝0は上記①より2つのθが対応。
合わせて3つのθが対応しています。

ぷりん🍮

せっかく丁寧に回答していただき申し訳ないのですが

①－1<x<1の範囲では、1つのxに対して、2つのθが対応(1対2の関係)で、
②x＝±1では、1つのxに対して、1つのθが対応(1対1の関係)になっています。

ここがどうしても分かりません。1対2の関係とはどういうことですか？

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

(下から2番目のグラフ参照)
－1<x<1のとき、曲線のグラフとx軸に平行な直線y=b(－1<b<1)が2点で交わるので、2つのθが出てきます。
例えば、x=0のとき、このグラフと直線x=0(x軸)との交点は2つあります。なのでθも2つ出てきます。

1対2の関係とは要するに1つの変数に対して2つの定数が対応しているということです。

ぷりん🍮

やっと分かりました！！
2度も答えてくださり本当にありがとうございました！！