Question

ゲスト1

(x+1)^12を(x-1)^3で割ったときの余りを求めたいんですが授業で三乗の公式(x-1)^3＝(x-1)(x^2+x+1)
を利用して余りを置き換えてたんですが
(x+1)^3=(x^2+x+1)(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
=(x^2+x+1)(x-1)Q(x)+(x^2+x+1)a+b(x-w)+1と書き換えられてたんですがなぜb(x-w)+1となるのかわかりませんあまりのax^2+bx+cをx^2+x+1で割って商がaとして(x^2+x+1)aとしておいてるんですよねそこからがわかりません
河合塾の実践の問題の出典です

Answer 1

Nn_nt

(x-1)^3=(x-1)(x^2+x+1)ではなくx^3-1=(x-1)(x^2+x+1)です。
x^3-1で割ると商が最大でax^9+bx^8……となってxの恒等式
で解くことは適さないと分かります
従ってこの問題は数値代入法で解く必要があるので
x^3-1の解を求めることから解答は始めるべきです。
解答のような面倒くさい方法は避けてx^2+x+1の解をωとすると上手くいく問題になっています

(x+1)^12=(x^2+x+1)(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c …①がすべてのxについて成り立つ
ここでx^2+x+1の解の一つをωとおくと
x^3-1=0の解はωと1 またω^2+ω+1=0⇔ω+1=-ω^2
①にx=ωを代入すると
(ω+1)^12⇔(-ω^2)^12=(ω^2+ω+1)(ω-1)Q(x)+aω^2+bω+c
(ω^3)^8=a(-ω-1)+bω+c ω^3=1
1+a-c-ω(b-a)=0
(a=b a=c-1)…②
①にx=1を代入すると4096=a+b+c②より
4096=2(c-1)+c 4096=3c-1 3c=4098 c=1366
②からa=1365 b=1365
①から1365x^2+1365x+1366

Nn_nt

4096=3c-1→4096=3c-2に訂正
計算結果は変わりません

ゲスト1

ありがとうございます