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高校数学とは思えない内容ですね…
R(θ)x
は行列とベクトルの積です。ベクトルを2×1行列と思えば行列の積と同じです。
(x') ＿ (cosθ -sinθ)(x) ＿ (xcosθ-ysinθ)
(y') ￣ (sinθ cosθ)(y) ￣ (xsinθ+ycosθ)
Q(xcosθ-ysinθ, xsinθ+ycosθ)がP(x,y)を原点Oを中心にθ回転したものであることを示せばいいです。
極座標表示とかが使えると楽ですかね。
Pの原点からの距離をr,x軸の正の方向からの回転角をαとすると、極座標は(r,α)ですが、このとき、x,yとの関係は
x=rcosα, y=rsinα
となります。(r,α)をθ回転すると(r,α+θ)となります。
このときのx,y座標を(x",y")と書くと、
x"=rcos(α+θ)=rcosαcosθ-rsinαsinθ=xcosθ-ysinθ=x'
y"=rsin(α+θ)=rsinαcosθ+rcosαsinθ=ycosθ+xsnθ=y'
となり、確かに一致します。
(4)直線について折り返した点とはつまり直線に関して対称な点です。
対称な点の座標の求めるのも、やっぱり極座標表示でごり押すのが一番楽なような気がします。グラフや図を描いて考えましょう。
[2]
(1)
(x)* ＿ _ _
(y) ￣ (x y)
転置かつ複素共役
S⁻¹=Aであることを示すには、AがSの逆行列であること、すなわち
SA=AS=E
が成り立つことを示せばいい。
行列の積の計算は
分配法則
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
結合法則
(AB)C=A(BC)
スカラー倍の性質
A(kB)=k(AB)
をうまく利用すると楽にできる。
行列の積(y)*xは1×1行列つまりスカラーになることに注意。
(E-γxy*)(E-αxy*)=E²+E(-αxy*)-γxy*E+(-γxy*)(-αxy*)
=E-αxy*-γxy*+αγx(y*x)y*
=E-αxy*-γxy*+αγ(y*x)xy*
=E+(-α-γ+αγy*x)xy*
=E+{-α+γ(-1+αy*x)}xy*
=E+(-α+α)xy*
=E+0xy*
=E+O
=E
(2)
H⁻¹=Hが示せたら、それを利用して、
H*=H⁻¹を示せばH*=H⁻¹=Hと示せる
遅くなってすみません…
本当にありがとうございます！
助かりました！