Question

もちゃ

215番について質問です。1枚目が問題文で、2、3枚目が解答なのです。
どうしてもA、Bがどの点を取ったとしても、常に点Pは線分ABを5:3に内分する点を通り、ABに垂直な直線になるのが腑に落ちないです、
A(x1,y1)、B(x2,y2)として、考えることはできますか？
初歩的な質問ですみません、教えて頂けると助かります。

215 AB=2 である2定点A, B に対して, 条件 AP2-BP2=1を満たす点Pの軌
跡を求めよ。

215 点 A を原点にとり、
点 B の座標を (20)と
する。また、点Pの座
標を(x,y)とする。
AP2-BP=1から
x2+y2
-{(x−2)2+y2}=1
y
.
ズ
17
A
EPPE
-5
5
4
5
整理すると
x= 4 0=1--10
よって, 点Pは、 次の図形上にある。
32
B
x

56
4 STEP**I
線分 AB を 5:3に内分する点を通り,
直線ABに垂直な直線
①
逆に, 図形 ① 上の任意の点は,条件を満たす。
したがって, 点Pの軌跡は,図形 ① である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

一応座標を用いずに証明する方法は思いつきました。
まず、直線AB上にある点Pは適当に計算したら出てくるでしょう。この点を仮にP0と置きます。
そして、「ある点Pが条件を満たすとき、点Pを通る直線ABの垂線と直線ABの交点をHとすると、直線PH上の任意の点P'は条件を満たす」ことを示します。
仮定より、AP^2-BP^2=(AH^2+PH^2)-(BH^2+PH^2)=AH^2-BH^2=1です。
この時、AP'^2-BP'^2=(AH^2+P'H^2)-(BH^2+P'H^2)=AH^2-BH^2=1となり、先ほどの命題が正しいことが確認されました。
すると、P0を通る垂線上の点はすべて条件を満たすことが確認でき、さらにこれ以外に条件を満たす点が存在しないことも確認できます(もし存在するなら、最初に直線AB上を調べたときにその点を通る垂線とABの交点が出てくるはずだからです。)。
このようにすれば、一応A,Bを特別な座標に置かなくても点Pの軌跡を確かめることができます。
ですがまあ、その解答のような考え方は非常によく使いますから、そっちに慣れておくことを強くお勧めします。感覚としては、あらかじめ設定されたxy座標に対して点A,Bを当てはめているというよりも、もともと平面上に存在している点A,Bが原点と(2,0)に来るようにxy座標を設定した、という感じです。簡単に言えば、xy座標は点Pの軌跡を描くために設置した物差しにすぎません。(非常に数学的でない説明で申し訳ないのですが、これ以上の説明が思いつきません)

沢木陽織

「」の中の命題で「直線PH上の任意の点」と書きましたが、よく考えたらPはAB上の点なのでちょっとあれですね。「Hを通るABの垂線」が正しいです。

もちゃ

とても分かりやすかったです！ご丁寧にありがとうございます！
実際にノートに書き起こしてみてから、最後の もともと平面上に存在している〜。の部分を読んで、とてもしっくりきました！
ずっともやもやしていたので、本当に助かりました！フォロー失礼します。