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基本 28 内心、傍心の位置ベクトル
00000
(1)AB=8. BC=7,CA=5である △ABCにおいて、内心を1とするとき、
を AB, AC で表せ。
(2) AOAB において, OA=d, OB= とする。
別解
ベク
とす
(ア)
を2等分するベクトルは,k
ることを示せ。
(+)
(kは実数, k≠0) と表され
OA'
形O
点 C
よっ
(イ) OA=2,OB=3, AB=4 のとき, ∠Oの二等分線と ∠Aの外角の二等分
指針
線の交点をPとする。 このとき,OP を で表せ。
(1)三角形の内心は,3つの内角の二等分線の交点である。
次の「角の二等分線の定理」 を利用し, まずAD を AB, AC
で表す。 右図で AD が △ABCの∠Aの二等分線
⇒ BD:DC=AB: AC
次に, △ABD と ∠Bの二等分線BIに注目。
基本 26
(2)Oの二等分線と辺ABの交点をDとして,まずODを,で表す。
[別解] ひし形の対角線が内角を2等分することを利用する解法も考えられる。 つ
まり, OA'=1, OB'=1 となる点 A', B' をそれぞれ半直線 OA, OB 上にとっ
てひし形 OA'CB' を作ると,点Cは ∠Oの二等分線上にあることに注目する。
(イ)(ア)の結果を利用して, 「OPをa, で2通りに表し、係数比較」 の方針で。
AC=OA となる点Cをとり, (ア)の
点Pは∠Aの外角の二等分線上にある →
結果を使うとAPはa で表される。 OP = OA+APに注目。
(イ) 点
20
らっ
OP
AC
と、
ZE
よ
a
0
解答
(1) △ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると
BD: DC=AB: AC=8:5
ZCの二等分線と辺
A
ABの交点をEとし
AE: EB=5:7,
5AB + 8AC
別解
よって AD=
10
13
8
15
EI:IC=:5
8
56
また, BD=7・・
であるから
=2:3
A
13
13
56
B
7 D
C
AI: ID=BA: BD=8:
-=13:7
このことを利用して
もよい。
13
角の二等分線の定理
ゆえに
15
ゆえに 0D=
|6|0A+|4|OB
|a|+|6|
AI=2AD=1.5AB+8AC-1AB+/AC
20
20
13
(2)Oの二等分線と辺AB の交点をDとすると
AD: DB=0A: OB=||:||
を2回用いると求め
られる。
角の二等分線の定理
を利用する解法。
検討
0
aba
a+ba 61
+
(2)
練習 (1)
|4| D|6|
③ 28
(2
求めるベクトルは, t を t≠0 である実数としてtOD と表
ab
される。
|a|+|6|
t=kとおくと, 求めるベクトルは
(+)
(kは実数, k≠0)
a
A
tOD=|al|b
a+ba
+
