Question

ゲストです

青線のことが言える理由、緑線の大小比較がこの形になる理由、赤線の言っていることの意味、
(ベクトル)HBの大きさが黄線のように計算できる理由、

それぞれ教えてほしいです。お願いします

6・150を原点とする座標空間に3点
A (2, -1,-2), B(p,q,r), C (3, 1, c) がある.
点Bは OA = OB, ∠AOB=
T
--
3
を満たす. 点Bを通
り,直線OA に垂直な平面をxとする. 点Cは平面
α上にある. 次の問いに答えよ.
(1) c の値を求めよ.
(2) g= 12, r>0 であるとき, p とrの値を求め
よ.
(3) AB・AC の最大値を求めよ. また, 最大値をと
るときのp, g, r の値を求めよ.
( 22 東京農工大 (後))

解 A(2, -1, -2), C(3, 1, c)
(1) 条件より△OAB は正三角形だ
から, B から OAに下ろした垂線の
足HはBのとり方によらず, OA の
3
A
H
-1-(y+1)-2-(z+1)=0
π
cola
3
中点 (1,-1,-1) となる.α は
O
Bを通って OA に垂直だからHを通り, その方程式は
2(x − 1) −1 · (y + ¹² ) —
.. 4x-2y-4z-9=0
3
(1)
B

(3) (1) のHを用いると,
AB
AC=(AH+HB).(AH+HC)
[AH と HB, HC は垂直だから]
=|AH 2+HB-HC
HとCは定点で (1) から
5
C=(2, 2/3, 1/2)
2'4
また、BはHを中心とする
半径3の円周上にあるよって,
②≦AH2+ HB||HC|
3 2 3
2
2
- ()*+ √5 - √ 2 ¹ + ( ² ) ² + (†) ²
=
-√3.
HB:
9
9
-2+2√3/ 125-15/15
・+
4 8
|HB|
|HC|
4
16
等号は HB と HCが同じ向きのときに成立する. H,
C, B が描く円はいずれもα上にあるから,
OB=OH+HB
-HC となることがあり, ② の最大値は
9
15
+ √15. このとき (上の計算を利用して)
4
8
1
= (1, -2, -1) + 2√3--
13
よって, 求める p, g, r の値は
12√3
1 9√√3
+
5√5
5√5
p=1+-
H
B
,
q
2
4
3 5
(2,
9
5√5 2 4
1, r=-1+
2
3√3
2√5
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ましゅまろ☆

青線
(1)の解説より、Bの位置によらず正三角形OABが成立してるので、OAを軸にして点Bを回転させてる状況に相当します。

緑線 ベクトルの矢印は省略
a・b＝l a l lblcosθにおいて、－1≦θ≦1より
a・bはl a l lblより小さいか等しいかとなるので
a・b≦l al lbl

赤線
先程の不等式で＝が成立するのはcosθ＝1すなわちθ＝0のときなので、一直線にあるとき
左辺は最大値を取る(等号成立のとき)
3点が一直線上にあることをベクトルと絶対値で長さの割合倍(3倍など)となることを表している

黄線
赤線の式と緑線の下の2つの絶対値の値を代入しています