数学
高校生

青線のことが言える理由、緑線の大小比較がこの形になる理由、赤線の言っていることの意味、
(ベクトル)HBの大きさが黄線のように計算できる理由、

それぞれ教えてほしいです。お願いします

6・150を原点とする座標空間に3点 A (2, -1,-2), B(p,q,r), C (3, 1, c) がある. 点Bは OA = OB, ∠AOB= T -- 3 を満たす. 点Bを通 り,直線OA に垂直な平面をxとする. 点Cは平面 α上にある. 次の問いに答えよ. (1) c の値を求めよ. (2) g= 12, r>0 であるとき, p とrの値を求め よ. (3) AB・AC の最大値を求めよ. また, 最大値をと るときのp, g, r の値を求めよ. ( 22 東京農工大 (後))
解 A(2, -1, -2), C(3, 1, c) (1) 条件より△OAB は正三角形だ から, B から OAに下ろした垂線の 足HはBのとり方によらず, OA の 3 A H -1-(y+1)-2-(z+1)=0 π cola 3 中点 (1,-1,-1) となる.α は O Bを通って OA に垂直だからHを通り, その方程式は 2(x − 1) −1 · (y + ¹² ) — .. 4x-2y-4z-9=0 3 (1) B
(3) (1) のHを用いると, AB AC=(AH+HB).(AH+HC) [AH と HB, HC は垂直だから] =|AH 2+HB-HC HとCは定点で (1) から 5 C=(2, 2/3, 1/2) 2'4 また、BはHを中心とする 半径3の円周上にあるよって, ②≦AH2+ HB||HC| 3 2 3 2 2 - ()*+ √5 - √ 2 ¹ + ( ² ) ² + (†) ² = -√3. HB: 9 9 -2+2√3/ 125-15/15 ・+ 4 8 |HB| |HC| 4 16 等号は HB と HCが同じ向きのときに成立する. H, C, B が描く円はいずれもα上にあるから, OB=OH+HB -HC となることがあり, ② の最大値は 9 15 + √15. このとき (上の計算を利用して) 4 8 1 = (1, -2, -1) + 2√3-- 13 よって, 求める p, g, r の値は 12√3 1 9√√3 + 5√5 5√5 p=1+- H B , q 2 4 3 5 (2, 9 5√5 2 4 1, r=-1+ 2 3√3 2√5 C

回答

✨ ベストアンサー ✨

青線
(1)の解説より、Bの位置によらず正三角形OABが成立してるので、OAを軸にして点Bを回転させてる状況に相当します。

緑線 ベクトルの矢印は省略
a・b=l a l lblcosθにおいて、-1≦θ≦1より
a・bはl a l lblより小さいか等しいかとなるので
a・b≦l al lbl

赤線
先程の不等式で=が成立するのはcosθ=1すなわちθ=0のときなので、一直線にあるとき
左辺は最大値を取る(等号成立のとき)
3点が一直線上にあることをベクトルと絶対値で長さの割合倍(3倍など)となることを表している

黄線
赤線の式と緑線の下の2つの絶対値の値を代入しています

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