2^n＞n^2-n+2･･･①とする。
(ⅰ)n=4のとき
左辺=2^4=16
右辺=4^2-4+2=16-2=14
よってn=4のとき①は成り立つ。
(ⅱ)n=k(k:4以上の自然数)のとき①が成り立つと仮定する。
2^k＞k^2-k+2
↑成り立ちますよーって書いときます。(4の時に成り立っていることからひとつの自然数なら成り立つだろうなぁっていう推測の下です。)
(ⅲ)n=k+1のとき
左辺= 2^k+1 =2^k･2
右辺= k^2+2k+1-k-1+2 =k^2+k+2
ここで大小比較を行います。
ただ2^kとk^2がありこのままの比較は難しそうなので、(ⅱ)を用いて、2^k=k^2-k+2とすると、
2・(k^2-k+2)=2k^2-2k+4
(下に大小比較の解説置いといたんで必要であれば活用してください。)
よって、大小比較をこれで行うと
2k^2-2k+4-k^2-k-2=k^2-3k+2
kは4以上の自然数であるので、これは常に正である。
よって、2・(k^2-k+2)＞2k^2-2k+4であることがわかる。置き換えたk^2-k+2は2^kよりも小さいのであり、それよりも小さいものが2^k+1より大きいわけが無いので、n=k+1のとき2^k･2＞k^2+k+2となり、①は成り立つ。
よって、nが4以上の自然数であるとき①は成り立つ。
(証明終了)
【今回の大小比較の原理】
4と6の大小比較をすると仮定した時(明らかに4<6)
4-6=-2 すなわち、4よりも6の方が大きい。
もし、これが6と7であれば、
7-6=1 すなわち、7の方が大きい。
つまり、引く数より引かれる数の方が大きければ、差は負になりますし逆も然りです。
不等号を伴う数学的帰納法による証明は
(ⅰ)k=1(変数の範囲において1番下のものにしてください)
(ⅱ)k=n(変数の範囲に従う新しい変数を作る)
(ⅲ)k=n+1(途中でk乗とか出てくるので1つ前の(ⅱ)から使えそうなものを持ってきて解く)
っていう3ステップで構成されています。人によっては(ⅱ)の部分を(ⅲ)に含めて2ステップで終わらせちゃいます。(大多数がこっちの方かも知れません…)
とりあえずこんな感じで証明できます。
参考にしたサイトのURL貼っておきますね。
https://rikeilabo.com/mathematical-induction
