Question

佐藤

極限の問題です！！
答えは0になるのかなと思いましたが、違いようです。

数学得意な方、教えてください！！

lim ( I - taix) x
2
xxx
tan'x iz tanx a
逆関数

極限値 逆関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

lim(x→∞)(tan⁻¹x) = π/2 なので、lim(x→∞)(π/2 - tan⁻¹x)x は 0×∞ の不定形になる。
(π/2 - tan⁻¹x)x = (π/2 - tan⁻¹x)/(1/x) = f(x)/g(x) とおくと、g'(x) = -1/x²≠0 なので、もし lim(x→∞)f'(x)/g'(x) が存在すれば、ロピタルの定理が使える。
f'(x) = -(tan⁻¹x)' = -1/(x²+1) 【※】なので、lim(x→∞)f'(x)/g'(x) = lim(x→∞)(-1/(x²+1))/(-1/x²) = lim(x→∞)x²/(x²+1) = lim(x→∞)1/(1+1/x²) = 1

【※】
y = tan⁻¹x とおくと、x = tany、-π/2＜y＜π/2、-∞＜x＜∞、dx/dy = 1/cos²y = tan²y+1 = x²+1
y' = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(x²+1)
【※】

したがって、lim(x→∞)(π/2 - tan⁻¹x)x = lim(x→∞)f(x)/g(x) = lim(x→∞)f'(x)/g'(x) = 1

佐藤

なるほど！！！！
ロピタルの使い方がわかっていませんでした、、
ありがとうございます。