✨ ベストアンサー ✨
まず、f(x)の意味するところは、
「すべての実数xについて、xが有理数ならばf(x)は1、xが無理数ならばf(x)は0」
です。
最終目的は、以下が成り立つことを証明することです。
「n→∞、m→∞のとき、『(cos(n!πx))^m』の極限値はf(x)と一致する。すなわち、xが有理数ならば1に、xが無理数ならば0に収束する」
これを命題Aとします。
＜方針＞
どこから手を付ければ良いかについては色々な方法が考えられますが、ここではとりあえず
「a＝cos(n!πx)とおいて、m→∞のときのa^mの極限が、aの値によってどのように変化するか」
を考えてみます。
-1≦a≦1なので、a^mの極限は以下の3通りになります。
・a＝1のとき：1に収束する
・-1＜a＜1のとき：0に収束する
・a＝-1のとき：振動する
ということは、命題Aは以下のように置き換えることができます。
「n→∞のとき、xが有理数ならばa＝1、xが無理数ならば-1＜a＜1となる」
ここで改めてaとxの関係を考えてみると、
・n!πxが(偶数)×πのとき：a＝1
・n!πxが(奇数)×πのとき：a＝-1
・n!πxが上記以外のとき：-1＜a＜1
つまり、命題Aはさらに以下のように置き換えることができます。
「n→∞のとき、xが有理数ならばn!xは偶数、xが無理数ならばn!xは偶数でも奇数でもない」
ゴールに近付いてきました。次に着目するのは
「有理数と無理数の違い」
です。
有理数とは「整数/自然数」の形で表すことができる数、無理数とはこの形で表すことができない数ですから、xが有理数ならば、
x＝p/q (p：整数、q：自然数)
と表すことができます。
また、n!＝1×2×…×nなので、n→∞のとき、n!は「すべての自然数の積」になります。
その中には当然、上記のqも含まれるので、n→∞のとき、xが有理数ならばn!xは整数になります。
さらに、このときn!xは必ず偶数になります。
(n!x＝1×2×…×(q-1)×p×(q+1)×(q+2)×…×n、(q+1)×(q+2)は偶数)
これで「n→∞のとき、xが有理数ならばn!xは偶数」を示すことができました。
最後にxが無理数の場合ですが、整数×無理数は無理数なので、n!xは当然、偶数でも奇数でもありません。
以上で、すべての準備が整いました。
＜証明＞
(i)xが有理数のとき
x＝p/q (p：整数、q：自然数)とする。
nが十分大きいとき、n!x＝1×2×…×(q-1)×p×(q+1)×(q+2)×…×nは偶数なので、n→∞のときもn!xは偶数である。
このとき、cos(n!πx)→1なので、m→∞のとき、(cos(n!πx))^m→1
すなわち、lim(n→∞)(lim(m→∞)((cos(n!πx))^m))＝1
(ii)xが無理数のとき
n!xは整数ではないので、|cos(n!πx)|＜1
したがって、lim(n→∞)(lim(m→∞)((cos(n!πx))^m))＝0
(証明終)
ご丁寧に本当にありがとうございます。🙇♀️
理解出来ました。