Question

ゆー

解説の1枚目のところは理解出来たのですが、2枚目の2行目がよく分かりません…なぜ符号が交互に変わっているのですか？

△x202 和
熊限等比級数のよんい
3/1/3 の無限等比級数について,その和Sと初項から第n項まで
Q>*203 初項 1,公比
lors
の部分和 S の差が、 初めて
1
1000
より小さくなるような自然数nを求めよ。
¥204 無限等比級数で表された次の関数y=f(x)のグラフをかけ。
f(x)=sinxcosx+sinxcosx+sinxcosx+
205 次の無限級数の和を求めよ。
8
n
XXX*(1)
2 (1) * Co
COS NA
XX(2)
(-1) "sin 27/17
兀
3
n=1
和は3である。 各項を3乗して得られる無限等比級数の和を求めよ。
n=1

3
2T
2
x
π
Zoffol
O
3
π
205 (1) COS™=(-1)" であるから
5
1 n
1\n
2({})*
COS NT =
= 2(-3)*
n=
=1
n=1
1
3
16
1- (-1/3)
(2)kを自然数とする。
n=2k のとき
n
sin π = sin kπ = 0
n=2k-1のとき
π
in = sin
n
2
2
であるから
00
n+1
Xx4(1) Σ-
n=1n+2
=-1
4
=21
(f
x(2k-1)} = (-1)k—¹
28
EQS
値の
②から
-1<
よって
x²-2
よっ
3,
207
hitz
以下
床て
離の
∞
2
n=
あの
∞
****(2) (-1)"¯
n=1

n=7
公比 sin' x の無限
COSx=0のとき
2x=0
整数)。
整数)
xキ
NI (nは整数)
るから, f(x) は収
XCOS X
tan x
OS2x
NI
x=
nは整数
2
2
NI nは整数
xキ
2
2
うになる｡
11
-π
2(-3)*sin
n=1
10 Jef?
1
1
1
+
+
----
3 33
37
35
1
1
n-1
8
=>
9
3
-(--/-/-)
n=1
3
=
10
206 (1) この無限数列が収束するための必要十分
条件は
-1<x²-2x≤1 HAIN
-1<x2-2xから
(x-1)²>0
よって
S
①
x2-2x≦1から
02020
x2-2x-1≧0
よって
1−√2≦x≦1+√2
①,②の共通範囲を求めて
1-√2≦x<1,1<x≦1+√2
(2) この無限級数は初項x2-2x,公比x2-2xの
無限等比級数である。
よって,この無限等比級数が収束するための必
要十分条件は
x2-2x=0
x<1,1<x
100
8 W2/20
n=
よって
208 求める
(x,y)と
2
x=1-(-²/3
これは,
/2
tt
比級数
あるか
また

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

多分、(-1/3)^n×sin(nπ/2)がn=1の時、n=2の時、n=3の時、n=4の時と具体的に考えていけば理解できると思います。

n=1のとき
(-1/3)^1×sin(1π/2)=(-1/3)×1=-1/3

n=2のとき
(-1/3)^2×sin(2π/2)=(-1/3)^2×0=0

n=3のとき
(-1/3)^3×sin(3π/2)=(-1/3)^3×(-1)
=1/(3^3)

n=4のとき
(-1/3)^4×sin(4π/2)=(-1/3)^4×0=0

n=5のとき
(-1/3)^5×sin(5π/2)=(-1/3)^5×1
=1/(3^5)

よって
(-1/3)^nの部分はn=1、2、3、4、5、、、
と増やしていくとn=1、3、5、、、(奇数)の時に符号がマイナスになり、n=2、4、6、、、(偶数)の時に符号がプラスになります。

sin(nπ/2)の部分はn=1、2、3、4、5、、、
と増やしていくと1、0、-1、0、1、、、と値が変わるので
nが偶数のときはsin(nπ/2)=0
n=1、5、9、、、とnが「4の倍数＋1」の時はsin(nπ/2) =1
3、7、11、、、とnが「4の倍数+3」の時はsin(nπ/2)=-1

以上のことを踏まえると
(-1/3)^n×sin(nπ/2)はnが偶数の時にsin(nπ/2)の部分が0になるので計算結果は0
よってnが偶数の時は書かなくてオッケー

残りはnが奇数の時ですが
nが奇数だと(-1/3)^nの部分だけの計算結果は符号がプラスですが
sin(nπ/2)の部分はnが奇数でもnが「4の倍数＋1」だと1、nが「4の倍数＋3」だと-1なので
(-1/3)^n×sin(nπ/2)の計算結果は奇数だけ考えていっても符号が交互します。

ゆー

ありがとうございます！