Question

ゲス

線形代数の問題です。
しばらく考えたのですが手も足も出なかったのでご教授お願い致します。

複素数を係数とするæについての2次以下の多項式全体のなすC上の線形空間を V
とする. 以下の問に答えよ.
(1) 複素数 m に対して, V の線形変換 Tm を Tm (f(x)) = mf(x)-2f(1)x2+f(2)x
で定めるとき, V の基底 {1,æ,2} に関する Tm の表現行列を求めよ.
(2) V の線形変換 Tm を (1) で定めたものとするとき, Tm(f(x)) = 0 をみたす V
の元f(x) で 0 でないものが存在する m をすべて求めよ.また, その各 m に
対して, Tm(f(x)) = 0 となる f(x) をすべて求めよ.

Answer 1

piss

名古屋大学の院試の問題ですね。以前解答を作成していたので添付いたします。

piss

はい持っています。ただすべてではないのと、ゲスさんの解答が論理的に正しいか否かを判定できる方が重要だと思うのですがどうでしょう？

ゲス

今大問1を解いている段階で2以降は1が終わり次第解く予定です。2以降は私が解いたものや解けたところまで送付させて頂きますのでその段階で解答を参考にさせて頂きたいのですが大丈夫ですか？

piss

はい、問題ありません。では個別に共有ノート等を作っていただきそこに添付していただけたらと思います。その解答に対しフィードバックと、解答を作ったものがあればそれを同時に添付いたします。

ゲス

私の方で共有ノート作成しました。見られますでしょうか？

piss

はい。見れました。

ゲス

ありがとうございます。そちらの方に解いたものを追加していきたいと思いますので今後ともよろしくお願い致します。

piss

こちらこそよろしくお願い致します。

ゲス

大問2解けるところまで書きましたがその後を参考にさせて頂きたいです。

piss

個人ノート方に解いていただいたものの共有をしてもらってもよろしいですか？

ゲス

（1）がこれでいいのか見ていただきたいのと（2）は手が出なかったので教えて頂きたいです。

ゲス

添削お時間かかるようでしたら答え送って頂きたいです。

ゲス

赤丸つけたところプラスでないでしょうか？私の勘違いでしたらすみません。

piss

はいプラスですね。ご指摘ありがとうございます。

ゲス

(1)は解けましたが(2)が分からなかったです。ご教授いただければ幸いです。

piss

(1)はよくできてると思います。
(2)はテイラーの定理を思い出してみましょう。

ゲス

fx（0，0）=fy（0，0）=fxx（0，0）=fxy（0，0）=fyy（0，0）=0になり三次の剰余項もゼロになるのですがどこで間違えてますか？

piss

f_xy(0,0)の値が違います

ゲス

この時点で分母が0になってしまうのですがどこから間違っていますか？

piss

f_xのlogを取り始める所からですかね
高校でもやるやつですが、真数が(0,0)で0になってしまいます。

ゲス

log（2+x^2+y^2）なので（0，0）では真数は2ではないのですか？

piss

そこは大丈夫ですが、第二項がまずいです。

piss

f_xはfのx偏微分であることを一応注意しておきます。

ゲス

この真数部分ですか？

piss

そこですね。
そこの計算がまずいです。

ゲス

赤丸の部分をyで微分すればいいんですよね？

piss

いや赤丸に至る計算がまずいので微分以前の問題です。

ゲス

fxの関数も間違っていますか？

piss

f_xはいいと思いますよ。

ゲス

解けました。どうでしょうか？

ゲス

こちら教えて頂けるとありがたいです。よろしくお願い致します。