Question

りゅ

この問題ってなんで判別式使わなくていいんですか？

2次方程式の解の存在範囲 (3)
基本例題 98
2次方程式x^2-2(a-1)x+(a−2)2=0 の異なる2つの実数解をα, β とす
るとき,0<a<1<B<2を満たすように,定数aの値の範囲を定めよ。
[類 立教大 〕
③ 基本 96,97
CHART & SOLUTION
TATAHO
2次方程式の解が2数p,gの間 グラフをイメージ
f(p), f(g) の符号に着目
f(x)=x−2(a-1)x+(a−2)2 とすると, y=f(x)のグラフは
下に凸の放物線で、 右の図のようになる。
解の存在範囲が0<a<1, 1<B<2 となるようにするには, f(0),
(1) f(2) の符号に着目する。 右の図から
f(0)>0かつf(1) <0かつf(2)>0
0 B2x
を満たすようなαの値の範囲を求めればよい。
Got
f(x)=x2-2(a-1)x+(a−2)2 とする。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,
0<a<1 <β<2 となるための条件は
フをイメージする。
f(0)>0かつf(1) <0かつf(2)ら3つの条件がすべて必要。
である。
例えば, f(0)>0 でなく,
f(0) <0 とすると,
ここで
(0)=(a−2)2
y=f(x)のグラフは,
f(1)=1−2(a-1)+(a−2)2=a²-6a+7
f(2)=4-4(a-1)+(a−2)2=a²-8a+12
次の図のようになり,
適さない。
{}<=(a-2)(a-6) 27²(829-10
201
[(a−2)²>0
......
2
であるからではα²-6a+7<0 と
......
(2)
(a-2)(a-6)>0 ...... (3)
...... 4 8 & 0<(0)X
①から 2 以外のすべての実数
②から 3-√2 <a <3+√2
③から a<2,6<a
......
6
④,⑤,⑥ の共通範囲を求めて
範囲⑥
6₂ (0)>3-√2<a<2
なお
2 17
(4) <0のとき、2次方程3-1/22/3+1/26a
Din
●数2との大小関係を考え
放物線。
-0<(071 (0)
軸はx=-2(a-1)
2.1
(軸) >2
A
8 10 a
x
α-6a+7=0の解は
a=3±√20 [s]
]
-CA IN
3章
11
2次不等式
る｡

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

けー

写真の解答の4行目の条件(赤字)を満たしていれば必ず判別式は正になるからです。

つまり、4行目の条件を満たそうと思うと、2次関数f(x)はx軸と異なる2点で＂交わらざるを得ない＂ので、判別式が正か0か負かという議論をするまでもなく、判別式は正で確定するということです。
（4行目の条件を満たすようにグラフを実際に書いてみると、このことがより分かると思います。）

判別式が正で確定しているのであれば、改めて判別式を計算して判別式D>0という条件を書き加える必要がないですよね。

※ もちろん、どうしても心配であれば判別式 D>0 を考えてもよいです。判別式の条件を加えたとしても、答えは変わらないです。（なぜなら、上で述べた事情により、その判別式の条件は加える前に既に満たされていたものだからです。）

分からない箇所や疑問点などありましたら、遠慮なくお聞きください😌