Question

り

56番がなぜこうなるかをもう少し詳しく教えていただきたいです。お願い致しますm(*_ _)m
数IIの不等式の証明の範囲です。

次の不等式を証明せよ。
la+b+cl≦la|+|6|+|c|
*55a0b>0 のとき、 次の不等式を証明せよ。
(1) (+1/2)(46+1-1)29
≧16
(2) (1+1)(9+)²16
a
*56 a>0, b>0,c>0のとき, 不等式(a+b)(b+c)(c+α)≧8abc を証明せよ。ま
た, 等号が成り立つときを調べよ。
⑩570<a<b, a+b=2のとき, 次の数を小さい順に並べよ。
1, a, b, ab,
a² +6²
2
(7
ヒント
50 2つの式AとBの大小はA-Bの符号によって定まる。 この問題では, A-B を因数分解
して各因数の符号を調べる。
53
√x2+y2≦x|+|y|と|x|+|y|≦√2(x2+y2) に分けて, それぞれの不等式を証明する。
55
左辺を展開して, 相加平均と相乗平均の大小関係を利用する。
57 条件を満たす適当なα, b の値を代入して, 大小の見当をつけて証明する。

もし①の等号が成り立つとすると,それは
b
a
=
(a>0, b>0) かつ 1
かつ 9
a
"
b
すなわち (a> 0,6 > 0) かつ a = b かつa=96
このときであるが,このようなa, b の値は存在し
ない
したがって, ① の等号が成り立たないことがわ
かる｡
56a > 0,6> 0, c>0であるから, 相加平均と相
乗平均の大小関係により
a+b≥2√√ab, b+c≥2√√bc, c+a≥2√ca
等号が成り立つのは,左から順に a = b, b=c,
c=a のときである。
この3つの不等式の辺々を掛けて
(a+b)(b + c)(c + a) ≥8√ab.bc.ca = 8abc
等号が成り立つのは、a=b=cのときである。
3
57 指針 たとえば, a=
とすると
2
3
ab
a2+62
5
4
となるから,大小関係は
2
4
a<ab<l<a² + b²
< b と推測できる。
=