Question

Mina

(2)はなんで逆数にしないといけないのかがわかりません。解説をお願いします🙇‍♀️

3m+2/
2(3x +-2)
79 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
(1) a₁=10, an+1=3a+2"+2
An
(2)
a₁=1, an+1=
2an +3
001 (+ 1.81₂
BAT EN S
CEL
101
Or

(2) a1>0であるから, 漸化式より
a>0
同様にして,すべての自然数nについて
よって,各項の逆数が存在して, 漸化式から
1 2an +3
=
すなわち
an+1
an
an
bn= =1 とおくと
bn+1=2+3b
n
an
これを変形して
bn+1+1=3(b+1)
435
1
また
61+1= — + 1 = 1 + 1 = 2
a 1
よって, 数列{bn+1} は初項2、公比3の等比数列で
ゆえに
b₂+1=2.3"-1
1
an
=
2-3-1-1
n
であるから
an
よって a3 >O
3
an>0
1
an+1
=2+
bn=2.3"-1-1
- 漸化式の両辺の逆数を
とる。
←c=2+3c を解くと
c= -1

漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さい先生

与えられた分数式のままでは、どうにも変形できず漸化式を解けないからです。

いま、分子がanだけの単項式、分母はanを含む多項式になっています。
このようなときは、両辺の逆数をとって漸化式を解くチャンスになります。

実際に逆数をとって整理してみると、1/an+1と1/anの関係を表す漸化式が出てきますよね。

Mina

与えられた分数式では漸化式を解けないっていうところがいまいちわかりません。時間があれば教えてくださると助かります🙇‍♀️

さい先生

漸化式から一般項を導くパターンは大きく分けて3パターン(添付の図を参照)しかありません。
上手く式変形をして、その3パターンのどれかに落とし込む必要があるのです。
「問題の分数式では漸化式が解けない」というのは、そのままではどのパターンにも落とし込めないってことを言っています。
ここではまず逆数をとった後、特性方程式から②の等比型に落とし込んで一般項を求めていく手段をとっています。

もし、このやり方ではダメなのですか？という方法があったら、教えてほしいところですが、解答に書いてある解き方が一番スマートな解き方になると思います。

Mina

写真のように式を整理して、そこから特性方程式を使って求めるのはできないんですか？自分で計算して答えが違うのが出てるのでやり方として合ってないのはわかっているんですけど、なんでできないのか腑に落ちなくて、、めんどくさい質問でごめんなさい🙇‍♀️解説してもらえると助かります。

さい先生

なるほど、間違いの原因がよくわかりました。
分数式の取り扱いが間違っています。
言葉で説明するのは難しいの次の図を見て下さい。
間違っている原因がわかると思います。

Mina

ありがとうございます！理解できました。何回も返信してくださってありがとうございました🙇‍♀️