この問題なのですが、解答の解き方だとk=3k+2が成り立つ→2^kを7で割った余りが4になる証明をしているように見えるのですが、違うのでしょうか？(もしあっているなら、なぜそれでも証明できるのか。間違っているのなら、どういう解釈をすれば良いのか。について教えて欲しいです！)
(qはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3q+2の場合
kを自然数とする。 2* を7で割った余りが4であるとき, んを3で割った余り、
指針> 2*=71+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは,
重要
例題
7
整数の問題への二項定理の利用
2であることを示せ。
重要6
【類千葉大)
kが 3q, 3q+1, 3q+2
13で割った余りが0, 1, 2
け 2*を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
19えは,た=3q のときは, 2*=29=89であり. 89=(7+1)'として ニニ項定理 を利用する。
2* を7で割ったときの余りを求めることができる。
解答
43で割った余りは0か1分
2である。
をを3で割った商をqとすると, kは 3q, 3q+1, 3q+2
のいずれかで表される。
[1] k=3qのとき, q21であるから
A
イk=3, 6, 9,
2*=29=(2°)°=8°=(7+1)°
=,Co79+,C.79-1+ +Cq-1'7+,Cq
=7(Co+C79-2+ +Cae+1
イ二項定理
は整数で、
よって,2* を7で割った余りは1である。
[2] k=3q+1 のとき, q20であり
q=0すなわちk=1のとき
q21のとき 2*=29q+1_2-2°q=2-89=2(7+1)°
2*=7×(整数)+1 の形。
(R=1, 4, 7,
イ二項定理を適用さ式の
「数は自然数でなはればなら
たいから,q=0とq21で
分けて考える。(*) は [1]
の式を利用して導いている
2*=2=7-0+2
=7-2(,Co7*-1+,C,7"-2+…+,Cq-i) +2 (*)
よって, 2*を7で割った余りは2である。
[3] k=3q+2のとき, q20であり
q=0すなわちk=2のとき
q21のとき 2=29q+2=2°.299=4-89=4(7+1)
Ak=2, 5, 8,
2*=22=4=7·0+4
0000
=7·4(,Co7°-1+,C,79-2+……+Cq-1)+4
0000e
[1]の式を利用。
よって,2* を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2* を7で割った余りが4であるのは, k=3q+2のときだけである。
したがって, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
別解 合同式の利用。
のまでは同じ。8-1=7·1 であるから
[1] k=3q(q21)のとき
[2] k=3q+1(q20) のとき q=0の場合 2*=2=7-0+2
g21の場合
[3] k=3q+2(q20)のとき q=0 の場合 2*=4=7-0+4
q21の場合
以上から, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
合同式については, 改訂版チャート式基礎からの数学I +A p.492~参照。
8=1(mod 7)
2=29=89=19=1 (mod 7)
一
(自然数n に対し
a=b(mod m)のとき
a"=b"(mod m)
2=299+1=89-2=1°.2=2
2*=29q+2=89-2=1°.4=4
東習
正の整数nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。
ト
(類 一橋大)
(p.21 EX5」
のが
返信が遅れてしまい、すみません。自然数kは3で割り切れる、余りが1.余りが2の三パターンあり、［1］~［3］でkの性質を示して、2^kを7で割ると4余るときのkはどんな場合か考えると、kが［3］のときだから、2^kを7で割るとkは［3］の場合に限定される。よって証明が成り立つということでしょうか？