✨ ベストアンサー ✨
yのグラフの増減は、y'の正負(接線の傾き)によってわかりますよね。
今回の場合y'を計算すると、4x³−6x²、
共通因数2x²でくくると、2x²(2x−3) となります。
y'の正負が変わるときには、その間で必ずy'が0となる瞬間があるはずなので、
y'＝0を計算すると、x＝0、3/2 と分かります。
ではここでy'＝0という方程式について考えてみましょう。
この方程式は3次方程式なので基本的には解が3つあるはずですよね？
でもこの方程式にはx＝0と3/2の2つしかない…、
これはどういう事かというと、方程式の3つの解のうち、2つが同じ0という値になっているということです。
こういう状態を「重解」といいますね。
(2次方程式でも重解の場合は解が1つとなったはずです)
この重解が含まれている時には、y'の符号に要注意なのです。
y'＝4x³−6x²のグラフを考えてみると、
xがマイナスの方から増えていくとy'はマイナスの方からどんどん増えていき、x＝0でx軸とぴったり重なり、その先は減少していきます。
つまり上に凸の山がx軸に接している状態です。
その後下に凸の山を描き、x＝2で再びx軸と交わり、その後はずっとプラスの方向へ進んでいきます。
このときy'のグラフがx軸より上にあるか下にあるかをみてみましょう。
y'のグラフがx軸の上下どちらにあるかというのは、y'の正負と対応しています。
xがマイナスの時、y'はずっとマイナスです。
x＝0のとき、y'はx軸と交わるため、0になります。
しかしその後y'のグラフは再び下に進んでいき、下に凸の山を描きます。
このときグラフはx軸より下にあるため、符号はマイナスですよね。
その後x＝2でy'は再び0となり(x軸と交わる)、それより大きなxではグラフは上方向へ伸びていき、プラスとなります。
だからこの時の増減表では、y'| − 0 − 0 + となるわけです。
このy'の符号とyの増減は一致するので、
y| ↘️ ↘️ ↗️ となります。
また基本的にはy'の正負が↗️↘️↗️…のように交互になるという考え方は間違ってはいません。
ですが今回の関数や、y＝x³などのように、
y'が重解を持つ場合は、必ずしも符号が交互になるとは限らないのです。
イメージとしては下のような感じです。
y'はx＝a、b、c、…の時に0になるとします。
つまりy'＝0の解がx＝a、b、c、…であり、
このときy'の正負がいれかわります。
(− a + b − c +…)
ここで、aとbが重解で、同じ値mだったとします。
(− m + m − c +…)
同じ値mを重ねた結果、
(− m − c +…)
となるわけです。
長くなってしまいましたが、要点をまとめると、
●どうして赤マル部分が⤵︎？
→y'の符号を考えたら−だったから。
●どうして矢印が交互じゃない？
→y'＝0が重解を持つから。
●⤴︎⤵︎⤴︎⤵︎…と交互だと考えるのは間違い？
→基本的にはそれで正しい。
けれど重解のときにはその部分を重ねて考える。
(2重解から⤵︎_⤵︎⤴︎…、3重解なら⤵︎__⤴︎⤵︎…、)
以上でどうでしょうか？長くて申し訳ないです(T-T)
理解できました！丁寧に説明していただきありがとうございます😭重解のときは気をつけて解くようにしていこうと思います...！ありがとうございました！！！