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(2)
平行と言われたら、中学校でも習ったように平行線の錯角や同位角を考えます。すると ∠BCA=∠CAD ...①
となります。一方AB=BC=2より△ABCは二等辺三角形なので、
∠BCA=∠BAC ...②
となりす。ゆえに①②よりACは∠Aの二等分線となります。円の中の二等分線は、パターンとして覚えておいてほしいのですが、二等辺三角形を作ります。これは円周角の定理からすぐに示せて、△BCDは二等辺三角形になります。したがって、CD(=CB)=2となります。
cos∠BACは「円に内接する四角形の内角の和は180度」より、cos(180-∠ABC)となります。これは公式から-cos∠ABCとなり、(1)を用いると答えは-1/3です。 このことから△ADCについて余弦定理を用いてやるとAD=2/3と求まります。
入りきらないので一旦送ります
恥ずかしながら(4)がなかなか解けないです...。もう少し待って頂いてもよろしいですか？
詳しい説明ありがとうございます！
お待たせしました。
最後はなかなかに難しかったですね。図を書けば写真のようになるわけですが、実際には色ペンは使えないのでかなりごちゃごちゃしていますね。なので、ちょっと状況を整理します。。(適宜必要かもしれないところに点の名前をつけています。)
まず、青色の垂線を下ろしました。ここでポイントになるのは△PBCは二等辺三角形ですよね。AB=DC=2で相似だからPB=PC=3です。「二等辺三角形の頂角から引いた垂線は底辺を垂直に二等分する」ことを用いてやると、EA=ED=1/3、BH=CH=1ですね。
△ABCは円Oに外接していることから円Oの中心は△ABCの外心であり、外心は垂直二等分線どうしの交点です。ゆえに、PHが△ABCの辺の1つにあたるBCの垂直二等分線になるということは、円Oの中心はPH上のどこかということになります
その上で、△PQCに注目したときにPC=3、PQ=√3で、直径が√6であったことを考えれば、3²=√6²+√3²が成立するので、三平方の定理の逆からCQはPQに垂直であるといえます。(ちなみにこれは、全然解けなくて長い間考えた上でパッと思い付いたものです。自分が教えるときは「図形問題の才能」がなくても解けるように、どこに着目してどのようにして考えるかを大事に教えているつもりなので、こんな発想力だけがものを言う教え方はしたくないのですが、思い付かなかったので許してください...)
したがって、円の接線PQに垂直なQCは「接線⊥半径」より円Oの中心を通ることがわかり、このことからPH上のどこかにあるはずの点Oは、QCとの交点Rと一致することが分かります。
以上よりQRは半径の√6/2で、PQは√3でそれらは垂直なので底辺×高さ×1/2で3√2/4と求まります。
本当にありがとうございました！
凄く分かりやすかったです！
最後に難易度についての質問なのですが、この大問だけを見ると、難しい問題だと言えるでしょうか？それとも、大学入試にしては簡単だと言えるでしょうか？
偏差値45くらいの美大(理系はほとんどいない)の過去問なのですが、私的には難しい印象を受けました。
勝手にセンター試験の過去問だと思っていました。なので、難易度はちょうどセンター試験くらいだと思います。何をもって簡単とするか、難しいとするかというのは難しいですが、(1)(2)は基本的な問題、(3)も図さえ書けたら基本的な問題だと思います。(4)は解けなくてもよいと思います。結局、他の問題との兼ね合いもあるので、解ける問題から解いていくとよいと思います。
(3)
(3)で言われている点Pや接線を書くついでに、(2)の情報をもとに正しい図に書き直してやる写真のようになりますね。
接線と言われたら、高校数学では、角なら接弦定理、辺の長さなら方べきの定理を考えると良いと思います。方べきから
PQ² =PA×PB
=PA×(2+PA)
となります。
よって、PAさえ求まれば求まりそうです。ここから全体に目を向ける必要があるので難しいかもしれませんが、ADとBCは平行なので△PADと△PBCは相似ですね。AD:BC=1:3よりPA:PB=1:3ですね。よってPA=1となり、PQ²=1×(1+2)よりPQ=√3ですね。
(4)は長くなりそうなので一旦送ります。