Question

魚見さん

3枚目の赤線について、「cos（xn／π）」と「g（t）の範囲」がこのように求める理由を教えてほしいです。

(1) g(x) =f(f (x))とおく。関数y=g(x)のグラフをかけ。
関数f(x)を
1
x<0またはx>2のとき
f (x)
x-1|
三
0Sx<2 のとき
で定める。次の問に答えよ。
nを自然数とする。
(x-n"+n
g
TX
COS
n
-dx を求めよ。

(rくU,
f (x) =
|lx-1| (0Srs2)
1
(x<0, 2<x)
={1-x (0Srs1)
1
Lr-1 (1Sxs2)
y=f(x)のグラフは右図のようになるので
0Sf (x) S1
0
したがって
g(x) =f(f (x))
=F(x) -1|=1f (x)
(x<0, 2<x)
10
(0SrS1)
2-x (1SrS2)
11
よって、y=g(x)のグラフは右図の太線部とな
0
1
2
る。
キキキ N

+n
297
TX
COS
n
-dx とおく。
I=
g
n
2)
ー十ガ=tとおくと
「x= dt
d=nd
dx= ndt
0
→ n
x
となり,また,ニ=t+n-1より
n
TX
= cos {πt+ (n-1)元} = (-1)"-!cos t
COS
n
よって
1=g()-(-1)"coSオt-ndt= (-1)*""f g0 cosztdit
ーn+1
coS Ttdt
ー#+1
0(-n+1Sts0)
(1)より
g(t)
t (0SS1)
となるので
1=(-1)* -cosTidi+ J, tcosmidi)
ーn+1
=(-1)"Gsin-ー al)
-tsin t
0 T
=(-1)"-'n-coszt
-2
2n
.(答)
三
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

cosに関しては上でx→tへの置換積分をしたのでtを用いて表す必要があるからです。
変形は難しいものではなく,x/n＝t＋n−1から式変形できます。
また,g(t)に関しては(1)でg(x)のグラフを描いているはずなのでそこから導き出せるはずです。
(gの式と定義域が(1)で既知より)

魚見さん

回答ありがとうございます。
g（t）の範囲については、なんとなく理解できたのですが
cosの変形がよくわかりません。。

ぽっきー

cos{πt＋(n−1)π}について
n−1が偶数の場合は角度πtからk周(k:整数)することになるのでcosπtそのもの。
n−1が奇数の時は見かけの角度が角度πtにπを足したものと考えることができるので−cosπt
以上より
cos{πt＋(n−1)π＝(−1)^(n−1)cosπt
((−1)^(n−1)が偶奇に応じて＋と−に分けてくれている)