Question

makizusi

どうしてxは実数だと言いきれるのですか？
｢例題100と同様…｣と書いてありますが、例題100にはきちんと｢xを実数として…｣と指定がありました。指定がなくても暗黙の了解のようなものがあるんでしょうか…？？それとも問題側のミスなのでしょうか？
教えてください！

考え方 与えられた式を「=k」とおき,式を整理する。
175
4
2次不等式とその応用
値と, その
判別式による最大 最小2)
例題 101
こにする、
x-1
の最大値,最小値と,そのときのxの値を求めよ。
+3
ま「=k」とおく。
例題100 と同様,xが実数である冬件から,判別式 D20 を利用して、
第2章
のとる値の範囲を考える。
お式を整理した後,(i) k=0, (i) kキ0 で場合分けする。
(整理した式は 2次方程式とは限らない。)
x-1.
30
=k とおく.
+3
x+3キ0 より,両辺にx°+3を掛けて、 +(1--xー
x-1=k(x°+3)
kx?-x+3k+1=0 ………①
(i) R=0 のとき
ーx+1=0 より,
まずは「=k」とおく。
「解答
なり,①が
もつkの値
求める。
5 のの式は2次方程式
+- とは限らない。
「+(I+ェー)S-
x=1
(i) Rキ0 のとき
xは実数より,2次方程式①は実数解をもつ,
よって,2次方程式①の判別式をDとすると,D20
D=(-1)?-4k(3k+1)
=-12k-4k+1
したがって,
D20 となり, ①が
実数解をもつkの値
の範囲を求める。
より,
-12k°-4k+120
12k°+4k-1ハ0
(2k+1)(6k-1)ハ0
値を求
き、
1
より,-kS(&+0)
00
は重
6
kの値の範囲より,
最大値,最小値を求
したがって,(i), (ii)より,
の
evo [x)1
k=-
6
1
-=3
2ん
める。
のとき,①より,
kミ、11
2'6
O
のとき、
x1
R=-
のとき,①より,
1
x=
=-1
2k
S >D=0 より, ①は重
解をもつ。
+8+ー= ax?+ bx+c=0の
2
よって,
最大値 (x=3 のとき)
b
1
(x=-1 のとき)
2
重解は、x=
2a
Focus
(与えられた式)=k とおき, xが実数であることから,
判別式D20を利用するフ
そ 調の
の最大値,最小値と,そのときのxの値を求めよ。
練習
2(x-1)
101
x-2x+2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

まず、複素数には大小関係がつけられない(絶対値を除く)ということを確認してください。
例えば
1+iと1-i
のどちらが大きいか調べようとすると
(1+i)-(1-i)=2i
となり、iが虚数で大小は定義されていない数ですからどちらが大きい数かを調べるのは不可能です。
したがって
最大値、最小値を求めるために
(左辺)=k
とすると、kは実数ということになります(kが複素数なら最小値と最大値は定義できない)。
また、kが実数なら
(左辺)=実数
となり、仮にx=α+iβ (α,βは実数)として
(x-1)/(x²+3)
代入してみると
(α-1+iβ)/(α²-β²+3+2iαβ)
より、左辺が実数であるための条件は
β=0かつαβ=0
すなわち、β=0であればいいとなるので、x=α(実数)
となります。
他の場合(最大値や最小値を求める問のときなど)でも試してみるとβ=0すなわちxが実数という条件が出てくると思います。

わかりにくかったらすみません

makizusi

ご丁寧にありがとうございます🥰
細かく説明していただいて、納得出来ました！

Answer 2

Shun

暗黙の了解でしょう。特段指示がなければ実数で考えるのがふつうです。