蛍光ペンを引いたところのやり方でx,yの値が求められる理由が分かりません。もちろん代入で求めることも出来るのですが、気になるのでどなたか教えてくれると嬉しいです。
CheC
領域と最大·最小2
例 題 120
連立不等式 x20, y20, 4Sx°+y°s9 の表す領域において, x+3y の
最大値,最小値と,そのときのx, yの値を求めよ。
(大阪電気通信大·改)
例題119(p.215)と同様に,まず,与えられた不等式を満たす領域を求める。
次に,x+3y=kとおいて考えるとよい。
「考え方」
解答 与えられた条件を満たす領域
Dは,右の図の斜線部分で,境
境界線は、
x°+y=4,
x+y°=9,
x軸とy軸
Y4
B
界線を含む。
k=3V10
x+3y=k とおくと,
1
2
13
第3章
k
x+
3
0
ソミー
k=2
より,傾き一
1
y切片の直
37
線である。
この直線が領域Dと共有点をもつとき, 上の図のように,
(i) 点Aを通るときたは最小
(i)点Bで接するときんは最大
となる。
(i) 図より,A(2, 0) である。
なる、このとき,
(i) 円x°+y°=9 と直線 x+3y=k が接するとき, 円
の中心(0, 0) と直線の距離dは,
y切片
が最小
y切片
が最大
3
小 十
kの最小値
円と直線が接する
→円の中心と直線の
距離が半径と等
k=x+3y=2+3-0=2
d=
V1°+3°V10
しくなる
これが円の半径3と等しくなるから,
=3 より,
V10
円と直線の式を連立
させて, 判別式
k=±3V10
D=0 としてもよい。
||=3/10 つまり,
したがって,図より,
図より,k>0
kの最大値
直線 OB の傾き3,
k=3/10
このとき,点Bは,直線 y=ー。
x+/10 と, 原点
3
を通りこの直線に垂直な直線 y=3x との交点だから,
OB=3 より,点B
オ= 3/10
10
の座標は,
ーx+/10 =3x より,
B
x=3…
V10
A
(08
9/10
V10//3
9/10
10
このとき,
0T
3
V=3'10
3/10
よって, x+3y の最大値 3/10 (x=
リミ
10
としてもよい。
10 ?
最小値2(x=2, y=0)
x, yが不等式 x+y°い5, y>2x を同時に満たすとき,次の式のとる値の最大
練習
「CU 値,最小値と, そのときのx, yの値を求めよ。
R|m |
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