Question

受験ｾｲ-

ピンクで丸がされている式に関する質問です。
なぜtanθ/2のとき、分母に-(-1)をするのでしょうか？
2021年度　神奈川大学　経済、経営、他学部　数学
の問題です

3原点0を中心とする半径1の円周上に点A(一1,0)がある。Aを通り、傾き
(3
tの直線がこの円周と交わる A以外の点をPとする。次の問いに答えよ。もの
A net
き 済三"()
(1) Pの座標をtで表せ。
解面でつEA 源食三
大の安全保障
(2) 線分 OP がx軸正方向に対してなす角の大きさを0(一元く0<x)とする。
0キ±かつ,等式 tan 0 + tan
2
〒0を満たす点Pの座標をすべて求め
2
よ。
で草小 は
る

8 0-1-0%3 (8-1
(1) y=t(x+1)とx+y=1を連立させて
3|解答
10-m 0
(1++°)x+2t°x+t°-1=0
(x+1){(1+°)x+t-1}30
8--01s 08-1
1-
し、x=-1,
1+
-8st 650 8い-
33
1E1上
x=-1 は Aのx座標であるから、Pのx座種は =
1-?
である。よ
1+
って,Pのy座標は
32x
1-2
2t
ソ=t|
+1
ニ
1+ (0園円 歩点土国
1より
1+
1-?
P(
以上より、
2t
1+? +)である。 (答))
9 Bt
(2) 0キ+より、 tキ±1であるから, (1)より
ァ=D2r
元
2

Simg
神奈川大-一般
172 2021 年度 数学(解答)Taug =
sB
2t
2t
tan0=
1-t?
1- et'
1+?
-+8)+12(19土)
点B(1, 0)とすると, 右図より
20AP+ZOPA=ZPOB
00+00+a1ーS
d8+59
また,ZOAP=LOPA であるから
1
0
2OAP-POB-
ZPOB=
2
33
T動大 3
よって
2t
は05
0
1+?
b=0.
tan
2
f
1-
(3) 27
1+2
012面の さ止を開ケ&ー
3
これより
tan0+tan, =0のとき
2
2t
-++3D0→
2t+t(1-)
-=0→ポ-3t=0 (:: 1キ土
() la+6
1-2
1-
→(-3)=0 → =0, ±V3
S+1
lap-
Tal=3. I6k
となるから,一元く0<πより
t=0 のとき, tan0=0 より
0=0 )+
2
9+2a
したがって
t=3 のとき, tan0=-V3 より
0=
-π
3
t=-3 のとき、 tan0=\3 より
0=3
13
2
-T
V3
Cos0=
『s0.
1
以上より,求めるPの座標は, (1,0).
2
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

dio

これは、私も熟考してしまったのですが、
解答を作成した人が、あるコツを知っている可能性があるような気がします。

というのは、sin,cosに落とし込んで、正解を導く上で、tanが出てくると、とても厄介なのですが、
ここで、tan(x/2)が出てくると、ある特殊な形に変形できる、というコツです。

なので、どうしてもtan(x/2)=tとおきたかった。と考えています。
このコツは、受験で使っても問題ないので、せっかく1時間も考えたので、書かせて下さい。

tan(x/2)+tanx において、
tan(x/2)=tとおくと、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)となります。（証明は絵を参照）
これで、普通に、両方の足し算をした結果、同じtの方程式になりました。

いやあ、難しいですね。絵を貼っておきます。
明日も寒いですが、頑張って下さい。

受験ｾｲ-

神奈川大学、この辺の捻りが厄介ですね。
試験まであと少し、まだまだ頑張ろうと思います。
大変ありがとうございました。