Question

ゆうか

P217の下から9行目での"S(x)の定義"とはなんのことでしょうか？教えてほしいです！

216 第6章 微分法と積分法
8
定積分
A 面積と不定積分
面積と微分の関係を調べてみよう。
(x)=2x とする。 a>0のとき, 点
(a, 0), (a, f(a))を, それぞれ A, B
とし,aSxである任意の数xに対し,
点(x, 0), (x, f(x)) を, それぞれ P,
Qとする。図の台形 APQB の面積を
xの関数と考え, S(x) で表すと
y=2x
5
(2, 22)
(a.20
5
B
2x
2a
ES(x)
0
AF
a
Ca.0) x-a
* (0t)
上京で下商。
-(2a+2x)(x-a)=x-α°
10
S(x)=
2
10
である。この関数を微分すると
すなわち, S'(x)=f(x) が成り立つ。
S(x)=2x
練習 f(x)=x+1のとき, 上と同様の台形を考え,その面積をS(x) とすると
28
き, S'(x)=f(x) が成り立つことを示せ。
上と同様のことが, より一般の関数についても成り立つことを示そう。
15
15
関数 f(x) は, 区間 a<x<bで常に
f(x)20 であるとする。
YA
点(a, 0), (a, f(a)) を, それぞれ
A, Bとし, aSxsbである任意の数
20 xに対し, 点 (x, 0), (x, f(x)) を, そ
れぞれP, Qとする。 曲線y=f(x) と
x軸,および2直線 AB, PQで囲まれ
y=f(x)
B
S(x)
0A
た図形 APQB の面積を, xの関数と
P R
a
b
X
考え, S(x) で表す。
図

J
第3節 積分法 217
微分してこもの-
ATたい Tな
ニュアンス
面積 S(x) の導関数を考えよう。
h>0とし, 点(x+h, 0), (x+h, f(x+h))を, それぞれ R, Sとする。
このとき S(x+h)-S(x) は図の影が付いた部分 PRSQの面積に等しい。
これと等しい面積をもつ長方形PRS'Q' を
;図のようにとり, T(t, f(t)) を辺Q'S' と曲
-2x
S
y=f(x)
線y=(x) の交点とすると
APRS'da面標
S(x+h)-S(x)=hf(t) 横×縦
S(x+h)-S(x)
=f(t)
同じ式はん<0のときにも成り立つ。
Q
したがって
O)
h
h
P
R
* tx+h
h→0のとき, t→xであるから, f(t)→f(x) となり
10
S(x+h)-S(x)
lim
-=f(x)
すなわち
h
S'(x)=f(x)
h→0
が成り立つ。ゆえに
。と
面積 S(x)は関数 f(x) の1つの不定積分である。
F(x) をf(x) の任意の不定積分とすると, 上で述べたことから
S(x)=F(x)+C
(Cは定数)
15
の
と表される。x=aのとき, S(x) の定義により, S(a)=0 であるから
0=F(a)+C
ゆえに
C=-F(a)
y=f(x)
これを①に代入すると
B
S(x)=F(x)-F(a)
20
S
S(x)
特に, x=bとおくと, 曲線y=f(x)とx
0| A
P
軸,および2直線x=a, x=bで囲まれた
a
x
x
図形の面積Sは、次のように表される。
S=F(b)-F(a)
ただし F(x)=Sr(a)dx
微分法と積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

冒昧

S(x)の定義とは、
a≦x≦bで常にf(x)≧0であるf(x)において、
A(a,0),B(a,f(a)),P(x,0),Q(x,f(x)) とし、
x軸と2直線AB,PQとy=f(x) で囲まれた面積

とされています。
したがって、
x=aつまり、
2直線ABとPQは等しいので、線分となります。
線分の面積は0なので、
S(a)=0
となります

ゆうか

なるほど、ありがとうこざいます！